Drone's DIYer

PM(Permanent Magnet) 모터는 회전자 권선 대신 영구 자석을 사용하여 권선에 전력을 공급할 필요가 없으므로 고효율이고, 운전시간이 길수록 표준 모터에 비해 유지비가 절감되어 근래에 각광받고 있다는 것입니다. PM 모터는 회전자 표면에 영구 자석을 붙인 구조의 SPM(Surface Permanent Magnet) 모터와 회전자 내부에 영구 자석을 매입한 구조인 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터로 구분됩니다.

최근에는 일반적으로 작은 사이즈에 고출력, 고효율 전동기를 설계하기 위해 모터 속도를 높이는 방향의 설계가 진행되고 있어 이에 따라 과거 DC 모터와 유도 전동기 또는 SPM 모터가 점차 IPM 모터로 대체되고 있는 추세라는 것입니다.

다음은 SPM 모터의 장단점입니다.

1) 저속 고토크의 토크제어를 하는 로봇 및 공작기계 등에 적합합니다.

2) 회전자의 위치에 따라 자기 저항이 변하지 않아 자기 인덕턴스 및 상호 인덕턴스는 일정한 값이 되므로 제어가 용이합니다.

3) 영구 자석 단면적 증가에 의한 발생 토크가 증가합니다.

4) 감자 문제 발생 가능성이 높습니다.

5) 자석 형상을 변경하여 토크리플 최소화 가능합니다.

IPM 모터는 통상 SPM 모터에 비해 다음과 같은 장점을 갖습니다.

1) 영구 자석이 회전자 코어 내부에 매입되므로 원심력 및 최대 토크를 이기는 영구 자석의 부착력을 보장할 수 있으므로 견고하여 고속회전에 유리합니다.

2) 마그네틱 토크와 릴럭턴스 토크의 병용으로 고 토크화(그러나 SPM 보다 소음 증대)가 가능합니다.

3) 회전자의 외경이 정교하게 가공되므로 공극을 작게 할 수 있습니다(편심이 적다).

4) 회전자 표면의 와전류(eddy current) 손실 저감으로 고효율화가 가능합니다.

5) 약계자 제어를 통해 운전 속도 범위를 이론적으로 무한대까지 가져갈 수 있어 고속 회전에 유리합니다.

SPM 모터에서는 Ld와 Lq의 자속 경로상의 유효 공극은 동일합니다. 모터에 사용되어진 페라이트나 희토류 계통의 영구 자석은 고정자 코어인 투자율이 높은 규소강판과 달리 매우 낮은 투자율(permeability)을 가졌고(혹은 영구 자석의 비투자율이 진공 중의 공기와 거의 같다) 따라서 인덕턴스 계산에서 공기로서 간주될 수 있어, Ld=Lq이고 매우 낮은 인덕턴스 돌극성을 갖습니다. 결과적으로 모터 단자에서 측정된 인덕턴스 값은 회전자 위치에 상관없이 일정하게 됩니다.

반면에 IPM 모터에서는 영구 자석은 회전자의 내부에 매입되었고 영구 자석은 낮은 투자율(즉, 큰 릴럭턴스)을 가졌기 때문에 회전자 위치에 따른 자속 경로 상의 유효 공극은 변하게 됩니다. 이것을 자기적 돌극성(magnetic saliency)이라 부르며 회전자의 위치에 따른 모터 단자에서의 인덕턴스의 변화로 나타나게 됩니다. 어떤 경우에는 이러한 인덕턴스의 변화를 감지하여 간접적으로 회전자의 위치를 파악하는데 사용되기도 한다는 것입니다.

q축은 고정자 코어의 중심과 인접하는 2개의 영구 자석 자극부의 사이를 통과하는 인덕턴스 Lq, d축은 고정자 권선에 의한 생성되는 자계와 영구 자석의 자계와 일치시켰기 때문에 고정자 코어의 중심과 영구 자석의 중심을 통과한 인덕턴스 Ld는 유효 공극의 증가로 감소하게 된다는 것입니다. 한편 Lq/Ld를 돌극비(saliency ratio)라고 하고 이에 비례하여 약계자 제어를 통한 광범위한 가변속 운전을 할 수 있다는 것입니다.

일반적인 동기 릴럭턴스 모터(SynEM)는 자기적 돌극성에 의해 전기자 권선의 자기 인덕턴스 L과 상호 인덕턴스 M이 회전자의 위치에 따라 변하고, 이것에 따라 공극(air gap)에 저장된 에너지가 기계 에너지로 변환되는데, 이러한 토크 발생 메카니즘에 의해서 발생되는 토크를 일반적으로 릴럭턴스 토크(Reluctance torque)라고 합니다.

IPM 모터에서 릴럭턴스 토크는 자속이 영구 자속부문을 통과하는 자기저항과 그 이외의 부분을 통과하는 자기저항이 다르며, 이러한 자기저항의 차이에 의해 발생하는 회전력 성분을 의미합니다. 다음 그림은 분포권의 고정자를 갖는 회전자에 영구 자석이 없는 동기 릴럭턴스 모터(SynRM)와 SPM 모터, 그리고 IPM 모터의 인덕턴스 분포를 나타낸 것입니다.

SPM에서는 영구 자석의 전기자 쇄교자속은 회전자의 회전각에 따라 정현적으로 변하기 때문에 영구자석의 전기자 쇄교자속을 이용한 토크를 발생시킬 수 있습니다. 반면에 IPM 모터의 영구 자석의 전기자 쇄교자속은 SPM과 같이 정현적으로 변화하고 뿐만 아니라, 자기 인덕턴스 및 상호 인덕턴스 역시 전기자 쇄교자속과 비교하여 두 배의 속도로 변화하게 됩니다. 그러므로 IPM의 토크 발생에는 전기자 자기 인덕턴스, 상호 인덕턴스, 영구 자석의 전기자 쇄교자속의 변화가 영향을 끼쳐 계자제어를 사용하여 최대 토크를 낼 수 있다는 것입니다.

상전류에 의한 쇄교자속은 다음과 같습니다.

여기서 B는 자속밀도이며 Ampere의 법칙에 의해서 권선에 관통하는 전류 i는 임의의 폐선로에 걸친 자계의 세기 H의 적분과 같으므로 다음과 같습니다.

여기서 g는 공극 두께이고, lm은 영구 자석의 길이, N은 권선의 수를 의미합니다. 권선에 발생한 자기력선은 권선으로부터 출발하여 공극 그리고 영구 자석, 공극, 권선으로 다시 들어오므로 공극 두께와 영구 자석의 길이의 2배가 됩니다. 공기 중에서 자속밀도 이므로 위 식으로부터 자속밀도는 다음과 같이 됩니다.

단, 음는 공기 중에서의 투자율(permeability)입니다. 쇄교자속의 식에서 권선 단면의 면적을 A라 놓고 위의 자속밀도를 대입하여 인턱턴스 L에 대해서 정리하면 다음과 같습니다.

모터를 벡터 제어 기법으로 구동하기 위해서는 3상의 모터 시스템을 벡터로 접근해야 하며 가장 쉽게 이해할 수 있는 abc 좌표계에서 구동에 필수적인 d-q 좌표계로의 변환과 그에 따른 모델링이 요구됩니다. 3상 모터의 전압이나 전류 그리고 자속을 벡터로 접근하는 근본적인 이유는 기구적으로 고정자 권선이 120˚ 간격으로 배치되었기 때문으로 전류를 예를 들어 전체 공간 벡터식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 a는 다음 그림에서와 같이 각 상의 120˚ 등간격의 기구적인 배치를 의미하는 것이며, 각 상의 전류 ia, ib, ic는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 a축 방향은 a상 권선에 의해 발생하는 자속의 방향을 의미합니다.

위의 abc 좌표계에서 3상의 전류는 서로 120˚이 위상차를 가짐을 나타내며 위의 전류의 전체 공간 벡터식에 대입하고 이를 간략화하면 다음 식과 같습니다. 

즉, 전류 공간 벡터는 abc 좌표계의 원점을 중심으로 겹쳐진 복소평면의 음의 허수부축에서부터 반시계 방향으로 회전하게 됩니다. 이는 3상 모터의 고정자 권선이 120˚ 간격의 배치된 상태에서 각 상에 120˚의 위상차를 갖는 정현파 전류의 인가로 발생하게 된다는 것입니다.

abc 좌표계에서 모터의 동특성 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 총 쇄교 자속 입니다.

또한 abc 좌표계에서 쇄교 자속 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 상호 인덕턴스는 대칭적(Lab = Lba)이고 인덕턴스는 angle(θ)에 따라 변하게 됩니다. 다음 식에서 보는 바와 같이 자기 인덕턴스는 회전자인 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치할 때 최대이고, 상호 인덕턴스는 쇄교와 동상의 중간에서 최대가 됩니다. 즉, 회전자가 q축에 있을 때 자기 인덕턴스가 최대이고 d축과 q축 사이에서 상호 인덕턴스가 최대가 된다는 것입니다.

Ls는 공극(air gap) 자기저항(reluctance)의 일정 성분으로 로 나타내는데, Lso는 토크를 생성하는 인덕턴스이고 Lsl는 고정자의 누설 인덕턴스입니다. 또한 Lx는 공극 자기저항의 정현적으로 변화하는 성분의 크기이며 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터의 돌극성으로 인하여 2θ의 항으로 나타납니다. 상호 인덕턴스 Lab, Lbc, Lac에서 -1/2 계수는 각 상이 120˚ 간격으로 위치되어지고 따라서 cos(2π/3)=-1/2이며 반면에 고정자에서 쇄교 자속은 다음과 같습니다.

여기서 λ는 회전자인 영구 자석에 의한 고정자 권선의 쇄교 자속이고, θ는 여전히 a축과 d축의 전기각이며 입력 전력은 다음과 같습니다.

출력 전력과 출력 토크는 abc 좌표계에서 유도하기 어렵기 때문에 생략합니다. 위와 같은 모터의 동특성 방정식과 쇄교 자속 방정식 등은 d-q 좌표계로 변환할 필요가 있습니다. abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다.

또한 d-q 좌표계에서 다시 abc 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다. 

여기서는 전류를 변환하였지만 이외에도 전압, 쇄교 자속에 대해서도 동일하게 적용할 수 있습니다. 영축 I0는 영상분축이라고도 부르며 balanced 3상 시스템에서는 항상 '0'이 됩니다. 이는 전류, 전압 그리고 쇄교 자속 모두가 순시적인 합이 '0'이 되는 정현파 시스템이기 때문에 가능하다는 것입니다.

abc 좌표계에서 고정자 3상의 전압을 d-q 좌표계로 변환하면 vd와 vq는 va, vb 그리고 vc로 나타낼 수 있고 이를 동특성 방정식을 이용하여 ia, ib, ic 그리고 λa, λb, λc 변수들에 의한 식으로 전개합니다. 그리고 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로의 위 행렬 변환식으로부터 3상의 전류 i와 쇄교 자속 λ를 d-q 좌표계에서의 전류 id, iq 그리고 쇄교 자속 λd, λq에 의한 식으로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 d-q 좌표계의 쇄교 자속 λd과 λq는 다음과 같습니다. 회전자의 자속은 d축과 일치(d축과 a축의 전기각이 0)하도록 변환하였으므로 q축 상의 자속에 영구 자석으로부터의 기여는 없게 됩니다.

여기서 Lq와 Ld는 각각 q축과 d축에 동기화된 자기 인덕턴스라 부르고 다음과 같이 정의됩니다.

동기 인덕턴스는 3상 balanced 조건에서 유효 인덕턴스가 되고 각 동기 인덕턴스는 누설 인덕턴스를 포함한 자기 인덕턴스와 다른 2상으로부터의 기여로 이루어집니다. Ls는 평균 인덕턴스로 Ls = (Lq + Ld)/2 이고 Lx는 인덕턴스 변화분(fluctuation)으로 Lx = (Lq – Ld)/2입니다. 그러므로 d-q 좌표계에서의 동특성 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

순시 전력은 abc 좌표계에서 입력 전력으로 각 상에 대한 전압 va,vb, vc 그리고 ia, ib, ic를 d-q 좌표계의 전압 vd, vq와 전류 id, iq로 변환하여 대입하면 다음과 같습니다.

모터의 전기적인 토크는 자속과 전류에 비례하므로 다음과 같습니다.

여기서 K는 관련상수이며, 이를 d-q 좌표계의 쇄교 자속과 전류로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 P는 모터의 극(pole)수입니다. 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면, 이 때 λq=0가 되어 토크는 (K는 관련 상수)이 됩니다. 위에서 d-q 좌표계의 자속 λd, λq 식을 대입하면 다음과 간략화 됩니다.

만일 d축의 전류 id를 0으로 제어한다면 다음과 같이 간략화됩니다. SPM(Surface Permanent Magnet)의 경우에 항상 공극의 인덕턴스는 일정하므로 Lq=Ld=Ls가 되지만, IPM의 경우는 Lq>Ld가 되어 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치시키더라도 전류 id를 반드시 0으로 제어하여야 합니다. 하지만 적당한 id와 iq를 흘려 추가적인 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 얻을 수도 있습니다.

여기서 이고, 기계적인 토크식은 다음과 같습니다.

여기서 , 이고, J는 회전자의 관성 모멘트, B는 점성 마찰 계수, TL은 부하 토크입니다. 전기적인 토크 Te와 기계적인 토크 Tm은 일치해야 하므로 위 방정식으로 부터 다음과 같습니다.

위 식으로부터 PMSM의 d-q 좌표계에서의 상태(동특성) 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.