Drone's DIYer

3상 공간 좌표계는 abc 좌표계 혹은 정지(ω=0) 좌표계(Stationary Reference Frame)라고도 합니다. 3상 좌표계의 a상이 발생시키는 자속의 방향과 일치하는 α축과 이에 직교하는 β축을 갖는 2차원 좌표계로의 변환을 Clarke 변환이라고 하며 이를 α-β 좌표계, d-q 정지 좌표계 혹은 회전자 좌표계(Rotor Reference Frame)라고 명명합니다.

위 행렬식에서 3번째 행은 가 되는데 3상 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등이 서로간에 120˚의 위상차를 갖는다면 balanced 조건을 만족하여 0이 되어 무시되어 집니다. 이를 0축분 혹은 영상축분이라 부르고 영상축분이 0이 되면 abc 좌표계는 2차원 직교 좌표계로 단순화되어 시스템을 쉽게 다룰 수 있다는 것입니다. 여기서 k1과 k2는 balanced 계수입니다. 일반적으로 변환 전후에 공간 벡터를 크기를 동일하게 하도록 balanced 계수 k1=2/3로 선택하고 생략되지 않는다면 k2=1/2가 됩니다.

또한 회전자(ω=ωr) 좌표계(Rotor Reference Frame)를 회전자의 위치 즉, 기준 자속의 angle(θ)를 알아내고 여기에 자속 성분을 일치시키기 위해서는 angle(θ) 만큼 원점을 중심으로 회전시켜야 합니다. 이와 같은 변환을 Park 변환이라고 하며 d-q 동기 좌표계, de-qe 좌표계 혹은 동기(ω=ωe) 좌표계(Synchronous Reference Frame)라고 명명합니다.

abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 바로 변환하려면 위 그림으로부터 다음과 같습니다.

반대로 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로 역변환하려면 행렬식 연산을 이용하여 위 식으로부터 다음과 같습니다. 비정방행렬이라 역행렬(inverse matrix)이 존재하지 않는 것처럼 보이지만 실제로는 d-q좌표계에 영상분(중성)축 0축을 고려한 3x3 정방행렬로 계산하고 balanced 조건하에서 영상분을 다시 제거한 것입니다.

위와 같은 좌표계 변환은 abc 좌표계에서 balanced 조건하에서 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등의 변환에 사용할 수 있습니다. 만일 기준 자속의 angle(θ)을 찾아내 실시간으로 회전자 좌표계의 d축과 일치시킨다면 회전자는 고정자의 회전자계와 같은 속도(synchronous)로 아래 그림과 같이 회전하게 됩니다.

이 때 고정자의 인가되는 전압과 전류 벡터는 회전자의 회전축에서 볼 때 항상 일정한 값으로 보인다는 것입니다. 그러므로 아래 그림에서처럼 d-q 좌표계는 abc와 α-β 좌표계와는 달리 시간에 따라 일정값을 보이게 됩니다. 즉, 이는 3상의 시변 시스템이 2축의 시불변으로 시스템으로 간주되어 이와 같이 변환이 제어를 용이하게 한다는 것입니다.

유도 전동기의 축 안으로 바라다 본 단면은 아래 그림과 같고 120도 간격으로 배치된 실제의 3개의 상 혹은 권선은 a, b, c로 나타낼 수 있으며, 각 상(권선)에 흐르는 전류는 ia, ib, ic는 전체 is = ia + ib + ic로 나타낼 수 있습니다. 여기서 전류는 위상을 가진 값으로 복소수 형태로 나타낼 수 있으며, 각 상의 전류는 벡터로 방향이 오직 a축, b축 그리고 c축 상에서만 움직이는 값이 갖게 됩니다. 따라서 net한 전체 is는 각 전류 벡터의 합으로 시간에 따라 변하는 일정한 크기와 방향을 갖는 공간 벡터(space vector)가 됩니다.

여기서 이고 위의 3상의 공간 벡터를 쉽게 다루기 위해서 2차원의 직교 좌표시스템으로 변경할 수 있습니다. 만일 이 좌표시스템을 한 축이 3상의 a상 축과 일치하는 α축과 이에 수직인 β축이라 명명하면 각 상을 2차원의 α-β 직교 좌표계로 다음과 같이 투영할 수 있습니다.

이를 컴퓨터 계산이 용이한 행렬식의 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

이를 Clarke 변환이라고 합니다. 3상의 전류 ia, ib 그리고 ic를 최대치가 이고 a상으로부터 순서데로 120˚의 위상차를 갖는 정현파(sinusoidal) 전류로 고려하면 공간 벡터 is는 다음과 같습니다.

이 때 위 가정으로부터 이므로 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

위 식에서 와 는 α-β 좌표계의 단위벡터이며 ω는 각속도이고 삼각함수 합의 공식을 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.

이 공간 벡터 is는 각 상에 흐르는 전류의 크기에 1.5배로 균일함을 알 수 있습니다. 위 식을 오일러(Euler) 공식을 이용하여 변형하면 다음과 같습니다.

그러므로 각속도 ω로 반시계 방향으로 회전하고 음의 β축에서 시작하는 회전전류임을 알 수 있습니다. 결론적으로 각 상에 120˚ 위상차를 갖는 정현파 전류를 a상을 기준으로 인가하면, 공간 벡터 is는 음의 β축에서부터 시작하여 1.5배의 일정한 크기로 반시계 방향으로 부드럽게 회전하게 된다는 것입니다.

위와 같이 120˚ 위상을 갖는 3상 정현파 전류를 인가한 고정자의 동일한 조건에서 고정자에서 발생한 자속 밀도는 암페어(Ampere) 법칙에 의해 전류와 비례하므로 유도 전동기이든 PMSM을 포함한 BLDC 모터이든 총 net 전류 is와 같이 총 net 자속 밀도도 동일하게 한 상이 갖는 최대 자속 밀도의 1.5배로 회전하는 자속(회전자계)이 생기게 된다는 것입니다.

이러한 회전자계는 물리적인 고정자 안에 즉, abc 좌표계에서 N극과 S극으로 나타낼 수 있는데, 공급되는 전류의 주기마다 고정자 주위를 1회전하게 되며, 이 모터를 구동하기 위해서는 회전자의 영구 자석에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 고정자에 정현파 전류를 흘려야 한다는 것입니다.