Drone's DIYer

유도 전동기의 축 안으로 바라다 본 단면은 아래 그림과 같고 120도 간격으로 배치된 실제의 3개의 상 혹은 권선은 a, b, c로 나타낼 수 있으며, 각 상(권선)에 흐르는 전류는 ia, ib, ic는 전체 is = ia + ib + ic로 나타낼 수 있습니다. 여기서 전류는 위상을 가진 값으로 복소수 형태로 나타낼 수 있으며, 각 상의 전류는 벡터로 방향이 오직 a축, b축 그리고 c축 상에서만 움직이는 값이 갖게 됩니다. 따라서 net한 전체 is는 각 전류 벡터의 합으로 시간에 따라 변하는 일정한 크기와 방향을 갖는 공간 벡터(space vector)가 됩니다.

여기서 이고 위의 3상의 공간 벡터를 쉽게 다루기 위해서 2차원의 직교 좌표시스템으로 변경할 수 있습니다. 만일 이 좌표시스템을 한 축이 3상의 a상 축과 일치하는 α축과 이에 수직인 β축이라 명명하면 각 상을 2차원의 α-β 직교 좌표계로 다음과 같이 투영할 수 있습니다.

이를 컴퓨터 계산이 용이한 행렬식의 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

이를 Clarke 변환이라고 합니다. 3상의 전류 ia, ib 그리고 ic를 최대치가 이고 a상으로부터 순서데로 120˚의 위상차를 갖는 정현파(sinusoidal) 전류로 고려하면 공간 벡터 is는 다음과 같습니다.

이 때 위 가정으로부터 이므로 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

위 식에서 와 는 α-β 좌표계의 단위벡터이며 ω는 각속도이고 삼각함수 합의 공식을 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.

이 공간 벡터 is는 각 상에 흐르는 전류의 크기에 1.5배로 균일함을 알 수 있습니다. 위 식을 오일러(Euler) 공식을 이용하여 변형하면 다음과 같습니다.

그러므로 각속도 ω로 반시계 방향으로 회전하고 음의 β축에서 시작하는 회전전류임을 알 수 있습니다. 결론적으로 각 상에 120˚ 위상차를 갖는 정현파 전류를 a상을 기준으로 인가하면, 공간 벡터 is는 음의 β축에서부터 시작하여 1.5배의 일정한 크기로 반시계 방향으로 부드럽게 회전하게 된다는 것입니다.

위와 같이 120˚ 위상을 갖는 3상 정현파 전류를 인가한 고정자의 동일한 조건에서 고정자에서 발생한 자속 밀도는 암페어(Ampere) 법칙에 의해 전류와 비례하므로 유도 전동기이든 PMSM을 포함한 BLDC 모터이든 총 net 전류 is와 같이 총 net 자속 밀도도 동일하게 한 상이 갖는 최대 자속 밀도의 1.5배로 회전하는 자속(회전자계)이 생기게 된다는 것입니다.

이러한 회전자계는 물리적인 고정자 안에 즉, abc 좌표계에서 N극과 S극으로 나타낼 수 있는데, 공급되는 전류의 주기마다 고정자 주위를 1회전하게 되며, 이 모터를 구동하기 위해서는 회전자의 영구 자석에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 고정자에 정현파 전류를 흘려야 한다는 것입니다.

다음 그림은 DC 모터의 토크 발생 원리를 설명하기 위한 개념도입니다.

위 그림과 같이 DC 모터에 전압 v를 인가하여 권선에 전류 i가 흐를 경우, 발생할 토크(회전력)는 위와 같이 플레밍(Fleming)의 왼손 법칙에 의하여 다음과 같습니다. 여기서 2는 회전축을 중심으로 같은 힘 F가 토크에 기여하기 때문이며 F는 로렌쯔(Lorentz)의 힘입니다.

τ = 2rF = 2ri(l x B)

그러므로 선분 ad와 bc는 위치에 따라서 힘이 작용할 수는 있지만 토크에는 기여하지 못하고, 선분 ab와 cd에서만 회전에 기여하는 토크가 발생합니다. 한편 페러데이(Faraday) 법칙에 의해서 기전력(electromagnet force) e는 다음과 같습니다. 여기서 속도 v = dx/dt = rdθ/dt = rω이고 ω는 각속도입니다. 

e = -dψ/dt = -BdA/dt = -Bldx/dt = -Blv = -Blrω

권선 길이 l 성분은 자속 밀도 B와 수직하므로 유도 기전력을 사용하여 토크의 크기를 다시 나타내면 다음과 같습니다. 결국 회전자를 영구 자석으로 고려하면 고정자 권선에 걸리는 역기전력은 오직 각속도에 비례함을 알 수 있습니다.

τ = 2rF = 2rilB = 2/ωei

따라서 토크는 고정자 권선에 흐르는 전류에 비례하고, 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기된 역기전력에 비례함을 나타냅니다.

교류 모터의 원리

영구 자석이 회전하는 BLDC 모터나 PMSM를 고려하면 자속 밀도 B가 변화하므로 토크는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

τ = 2rilBsinθ

고정자 권선에 i라는 전류가 흐르면, 권선이 이루는 면에 수직으로 발생하는 자속 밀도 Bs의 크기는 암페어(Ampere) 법칙에 의해서 전류 i에 비례하므로 Bs = Gi라 하면 다음과 같이 됩니다. 단, G는 루프의 형태와 관련된 상수입니다.

τ = 2rilBsinθ = 2rl/G·Bs·Bsinθ

여기서 k = 2rl/G라 하여 기기의 구조에 의존하는 값으로 정의하면 일반적인 토크는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

τ = k·Bs·Bsinθ = k·(Bs×B)

그러므로 토크는 권선에 의한 자속 밀도와 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(orthogonal, perpendicular)할 때 최대가 되고 같을 때 0이 됩니다. 이는 두 자계의 방향이 서로 일치하려는 작용에 의해 토크가 발생하고 회전자의 자계가 고정자의 자계와 일치하는 방향으로 토크가 발생한다는 것입니다. 위 그림에서 θ가 0도인 경우는 회전 토크에 기여하지 못하는 것으로 다른 말로 쇄교하는 자속 밀도가 시간에 따라 변화가 없어 역기전력은 0이 되어 토크가 없다고 의미와 같습니다.

다음 그림에서 고정자 b에 전류를 인가하면 영구 자석의 N 혹은 S극이 b상으로 정렬되고 이때 힘(인력) F는 최대이지만 회전자의 회전에는 전혀 기여하지 않게 됩니다. 소위 고정자의 자계가 회전한다면, 회전자에서 고정자 자계를 따라가기 위해 토크가 계속 발생하는 것이 모터의 회전 원리라는 것입니다.

위의 원리는 회전자인 영구 자석 대신에 이를 권선으로 대치한 유도(Induced) 모터에도 같은 원리가 적용되고 요약하면 다음과 같습니다. 여기서 k'에 관련된 상수입니다.

τ = k·(Bs×B) = k'/ω·e·i

• [abc 상(좌표계) 관점에서] 토크는 고정자 권선에 의한 자속 밀도와 회전자 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(90˚)할 때 최대가 됩니다.

• [시간의 관점에서] 토크는 고정자 권선에 전류가 클수록 그리고 역기전력이 클수록 그리고 회전 속도가 작을수록 커지게 됩니다. 

이는 DC 모터의 정상상태 방정식 V = Ri + Ldi/dt + e으로부터 고정자에 일정한 전류 i가 인가된 정상상태에서 전류를 증가시키면 토크가 증가하여 회전 속도가 증가하지만 이로 인해 역기전력이 증가하고 상대적으로 고정자에 권선에 걸리는 전압의 감소는 전류의 감소로 이어저 결국 주어진 전류에 토크(회전 속도)는 균형을 이루게 됩니다.

요약하면, 회전하는 모터의 고정자를 손으로 정지시키면 고정자의 권선에 흐르는 전류가 증가하여 토크가 증가하는데, 이는 회전하려는 힘이 스스로 증가하려는 것으로 전형적인 DC 모터의 특성이며, PMSM을 포함하는 BLDC 모터를 '-DC'로 표현하는 것은 DC 모터의 특성을 닮았기 때문입니다.

3상(abc)의 고정자 권선을 가지는 유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터를 최대의 토크를 유지하며 구동하기 위해서는 abc 좌표계에서 회전자에서 발생하는 자속 밀도가 고정자에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 해야 하며, 이는 타임 도메인(시변 좌표계)에서 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기되는 역기전력과 고정자 권선에 인가되는 전류가 동상(in phase)이 되도록 해야 한다는 의미입니다.

※ 플레밍(Fleming)의 법칙

유도기전력의 방향

전기가 흐르는 도체가 받는 힘