Drone's DIYer

https://e2e.ti.com/blogs_/b/motordrivecontrol/archive/2015/02/19/start-your-bldc-journey-with-motor-startup-part-iii-initial-position-detection-ipd

초기 위치 감지(initial position detection; IPD)는 회전이 시작하기 전에 모터 위치를 감지하는 방법입니다. BEMF(back electromotive force)에 연관된 방법은 모터가 스타트 하기 전에는 불가능하기 때문에 우리는 모터 위치의 함수인 또 다른 모터 특성을 찾을 필요가 있습니다. 모터 권선 인덕턴스 (포화)는 이 요구를 만족시킬 수 있습니다.

모터 고정자 권선의 등가회로는 저항과 직렬 연결된 인덕터(inductor)입니다. 권선에 자기장(magnetic field)은 상이 전류로 구동될 때 증가합니다.

권선 코어 재질인 규소(silicon) 강판에 자기장은 인가된 전류가 증가하는 것만큼 빠르게 증가할 수 없는 곳에 포화지점(saturation point)을 갖습니다. 이 포화지점은 재질의 자화 곡선(BH curve)에 의해서 결정됩니다.

BLDC 모터의 영구 자석은 권선 코어에 자기장을 생성하는데, 이 자기장은 상전류에 의해서 생성된 자기장에 중복될 수 있습니다.

여기에 이 원리를 입증하는 간단한 실험입니다:

1) 스위치를 켭니다. 12V 전원은 인덕터에 에너지를 축적하기 시작합니다.

2) 인덕터 전류가 1.6A에 도달했을때 스위치를 끕니다.

3) 전류 파형을 캡쳐합니다.

4) 영구자석을 인덕터 가까히 위치시킵니다.

5) 인덕터 코어에 여분의 자기장을 공급합니다.

6) 테스트를 반복합니다.

결과:

자석이 가까히 존재할 때 인덕터는 포화되고 전류는 빠르게 증가합니다.

또한 강한 영구 자석을 선택할수록 전류가 임계값(threshold)에 도달하는데 더 빠릅니다.

우리는 이 개념을 모터에 적용할 수 있습니다. 모터의 3상 중의 두 상에 전압을 이런 식으로 순차적으로 공급합니다: VW WV UV VU WU UW. 전류가 임계값에 도달했을 때 모터에 걸린 전압은 멈추게 됩니다. 전압이 공급된 후로부터 전류 임계치에 도달할 때까지 걸린 시간을 측정합니다. 이 시간은 모터 권선에 인덕턴스의 함수로서 변하게 됩니다.

가장 짧은 시간을 갖는 상태는 최소 인덕턴스를 갖는 상태(마치 minimum inductive kick과 같은)를 나타냅니다. 최소 인덕턴스는 이들 특별한 구동 상태에서 위 그림에서와 같이 모터의 N극에 정렬되었기 때문입니다. 정확한 IPD 결과를 얻기 위해서 다음의 파라미터가 적절히 선택되어야 합니다.

1. IPD current threshold

2. IPD clock

3. IPD release mode

전류가 임계치에 도달하였을 때 모터에 공급되는 전압을 중단하는데는 2가지 방법이 있는데 recirculate 모드와 하이 임피던스 모드입니다. 하이 임피던스 모드에서 전류는 출력 MOSFET의 body diode를 통해서 전원으로 흐르게 됩니다. 하이 임피던스 상태에서 상전류는 보다 빠른 settle-down 시간을 갖지만 VCC에 서지(surge)를 초래할 수 있습니다. 그러므로 하이 임피던스 모드를 적용하기 위해서는 적당한 클램프 회로나 VCC와 GND 사이에 충분한 커패시턴스가 요구됩니다.

https://e2e.ti.com/blogs_/b/motordrivecontrol/archive/2014/11/20/start-your-brushless-dc-journey-with-motor-startup-part-i
https://www.infineon.com/dgdl/ap0801810_Sensorless_Variable_Inductance_Sensing.pdf?fileId=db3a304412b407950112b40c7c150b39

빠르고 신뢰성 있는 startup는 많은 시스템 설계자가 이미 해왔던 것처럼 도전입니다. 가장 어려운 도전은 거의 모든 센서리스 해법이 위치 추정을 위해서 BEMF(back electromotive force) 감지에 의존하기 때문에 정지 상태로부터 출발이라는 것입니다. BEMF는 모터 속도에 비례하고 startup 전에는 '0'입니다. 결과적으로 초기 위치 감지(initial position detection; IPD)를 위해서는 inductive sense, mutual inductance 등 혹은 모터를 간단히 회전시키는 방법(blindly spin up; "align and go") 등 다른 방법을 찾을 필요가 있다는 것입니다. 이들 2가지 방법은 장점과 단점을 가지며 어떤 애플리케이션에 대해서는 유용합니다. 우리의 애플리케이션에 대해서 최상의 해법과 최상의 파라미터를 찾기 위해서 이들 장단점 사이에서 trade off를 결정해야만 합니다. 다양한 애플리케이션을 지원하기 위해서 이상적으로 모터 드라이버는 유연성과 startup 방법과 startup 파라미터를 선택할 수 있는 옵션을 제공해야 합니다.

'blind' startup (혹은 ramp up method)

비록 많은 새로운 첨단의 BLDC 제어 알고리즘이 위치 관측(position observation), 위치 추정(position estimation) 그리고 FOC(field-oriented control)를 강조할지라도, 알려진 commutation 시퀀스를 간단히 이용해 모터를 "blindly" 강제 구동하는 방법이 여전히 종종 사용됩니다.

스텝퍼(stepper) 모터를 생각해보면, 스텝퍼 모터의 위치는 피드백 센서 없이 수백 개의 스텝 중의 하나로 이동하고 멈추도록 명령될 수 있습니다. 이는 부하가 너무 크지 않는 이상 적당한 애플리케이션에서 잘 동작합니다. 모터가 잘못된 스텝으로 그리고 멈추기도 합니다. 피드백 센서 없이 제어기는 잘못된 스텝이나 정지 조건을 알아차리지 못합니다. 그러므로 'blind' 혹은 'open loop control'이라 부릅니다.

Brushed DC 모터 제어를 생각해보면, brushed DC 모터는 피드백 센서 없이, 제어기 조차도 없이 DC 전원으로부터 작동되도록 설계됩니다. 모터의 속도는 부하가 증가하는 동안 떨어집니다. 모터 속도를 감지하기 위한 특별한 기술이 존재하지 않는 이상, brushed DC 모터는 'blindly' 제어됩니다.

이러한 개념을 3상 BLDC 모터에 구현하면 다음과 같습니다. U상에서 V상으로 DC 전류를 공급하고 모터가 자리잡을 때까지 기다립니다(실제로 우리는 충분히 길게 기다릴 수 있습니다. 왜냐하면 우리는 'blind' 제어를 수행하고 있고 우리는 모터가 정지했는지 아닌지 알 수 없기 때문입니다). 그리고 나서 W상에서 V상으로 DC 전류를 공급하고 기다립니다. 이를 다음의 시퀀스 WU->VU->VW->UW->UV->WV->WU로 지속합니다. 모터는 약간의 흔들림과 함께 회전을 시작할 것입니다.

각 스텝에서 흔들림을 최소화하기 위해서 우리는 간단히 스텝 사이즈를 줄여 위에서 보여지는 2 스텝의 각 사이에 하나의 스텝을 추가하여 회전을 부드럽게 할 수 있습니다. 예를 들어 UV와 WV 사이에 (UW)V 스텝을 추가하고 그 의미는 U상과 W상이 동시에 V상에 전류를 공급함을 의미합니다.

만약 좀더 부드럽게 개선을 원한다면 우리는 존재하는 스텝 사이에 추가적으로 스텝을 더 추가할 수 있습니다. 예를 들어 UV에서 (UW)V 사이에 U상의 전류의 크기를 감소시키고 W상에 전류를 증가시키는 방법으로 몇 개의 스텝에 이를 반복하는 것입니다. 스텝의 수가 어떤 높은 값에 도달하면 제어는 스텝이 없고 부드러운 프로파일을 보여줍니다. 이는 또 사인파 프로파일로 변조(modulate)될 수 있습니다(DRV10983은 256 스텝의 모든 전기적 사이클을 갖고 사인파 전류 프로파일을 제공합니다).

사인파 'blind' startup은 적당한 크기로 3상 사인파 전류를 공급하는 것입니다. 이는 '0' (혹은 매우 낮은) 주파수에서 시작해서 모터의 실제 위치에 상관없이 적당한 가속으로 사인파 전류의 주파수를 증가시킵니다(open-loop 동작). Open-loop 동작은 모터를 어느 속도로 동작시키는데, 이 속도는 모터의 제어 로직이 closed loop로 모터를 정확하게 구동시킬 정도로 충분한 BEMF를 생성할 것입니다(closed-loop 제어는 모터 위치 기준 제어(motor position oriented control)를 의미합니다).

'Blind' startup는 부하 조건이 예측 가능한 애플리케이션에 특별히 모터의 속도를 올리는 매우 실용적인 방법입니다. 그러나 넓은 범위의 모터의 응용을 커버하기 위해서는 몇개의 파라미터들이 startup 성능을 최적화시키기 위해서 적절히 선택되는 것이 필요합니다.

Parameter 1: Open to closed loop threshold. (Op2ClsThr)

예제로 모터 A는 진공청소기 용이고 60,000rpm (4pole, 2000Hz)까지 회전합니다. 이 모터의 BEMF는 5mV/Hz. 모터 B는 천정팬 용이고 최대 속도는 150rpm (8pole, 10Hz)이고 모터 B의 BEMF는 1V/Hz입니다. 우리는 모터 A에 대해서 약 200Hz에서 Op2ClsThr을 설정할 필요가 있습니다. 왜냐하면 이 모터는 closed-loop control를 위해서 200Hz에서 1V BEMF을 생성하기 때문입니다. 우리는 모터 B를 200Hz에서 Op2ClsThr 설정을 원치 않습니다. 왜냐하면 그것은 그렇게 높이 결코 도달하지 않기 때문입니다. 모터 B에서는 1Hz 혹은 1.5Hz가 훌륭한 선택입니다. 만일 여러분이 매우 작은 BEMF 정보를 요구하는 closed-loop control 방법을 갖고 있다면 여러분은 낮은 속도에서 제어를 closed loop로 넘기는 것을 고려할 수 있습니다.

Parameter 2: Align time (AlignTime)

모터는 다음 startup 전에 어떤 위치에서도 정지할 수도 있습니다. 'blind' startup은 초기 위치가 알려지지 않았기 때문에 어떤 애매한 초기 위치에서 모터를 회전시키는데 종종 실패하기도 합니다. 이것이 왜 우리가 초기화가 필요한지를 말해줍니다. 모터 상에 사인파 전류를 흘리기 전에 우리는 어떤 시간 동안 고정 상태(예를 들어 U에서 V로)로 DC 전류를 구동하는 것에 의해서 모터를 초기화하고 고정된 알려진 위치로 모터가 자리잡도록 할 수 있습니다. 이 방법이 'align and go'로 알려집니다.

정렬의 결과로서 다음 스텝, 가속은 알려진 고정된 위치에서 시작합니다. 이 기술은 모터의 초기 위치의 불확실성을 제거하기 때문에 startup 신뢰도를 중요하게 개선합니다. Align time은 모터가 처음에 어디에 있더라도 기대된 위치에 올바로 자리잡는 것을 담보하기 위해서 충분히 긴 시간이 요구됩니다. 그러나 거기에는 작은 여지가 있는데 모터의 초기 위치가 정렬 위치와 아래 그림에서와 같이 반대인 경우(180도 전기각이 떨어져 있는)입니다. 이 조건에서 우리는 아무리 오랫동안 정렬을 할지라도 로터는 움직이지 않을 것입니다.

여기에 2가지 해법이 있습니다:

1) Dual-align: 서로 120도 떨어져 (혹은 0도 혹은 180도를 제외한 어떤 각도) 두번 정렬을 실행합니다. 만일 모터가 처음 정렬 이전에 불운한 위치에 있었다면, 두번째 정렬은 그것을 확실하게 두번째 정렬 위치로 당길 것입니다.

2) Dynamic align: 고정된 위치에 정렬하는 것 대신에 정렬을 하는 동안 위치를 천천히 움직입니다. 아래와 같이 이러한 동작은 가속과 함께 조합될 수 있으며 그 결과 우리는 부드럽고 더욱 신뢰성 있는 startup을 얻을 수 있습니다.

Parameter 3: Motor acceleration rate. (A1)

모터 구동 토크는 acceleration momentum 공급하고, 샤프트 마찰(shaft friction)과 어떤 부하를 극복하는 것이 요구됩니다.

Td = A1*J + Tf

Td = Kt*Ip*cos(Ө)

그러므로, A1 < Kt*Ip / J

A1: Acceleration rate

Tf: Motor load torque

J: Motor inertial

Td: Motor driving torque

Ө: Angle between combined 3-phase current and rotor position

Kt: Motor torque constant

Ip: Motor phase current peak

큰 관성 모터는 느린 acceleration rate를 요구합니다; 작은 Kt 모터는 느린 acceleration rate를 요구합니다; 높은 구동 전류는 빠른 acceleration rate를 지원할 수 있습니다. 만일 Kt*Ip > Td이면 Ө는 자동적으로 0에서부터 90 이하로 증가할 것입니다.

Parameter 4: Second order acceleration (A2)

2차 가속은 동적인 정렬과 가속 프로파일(포물선)을 생성합니다. 만일 모터가 초기 위치 감지(IPD) 혹은 startup 이전에 정렬을 했다면 2차 가속은 필요하지 않습니다.

Parameter 5: Startup current

startup 전류는 'blind' 동작 구간 중에 인가된 전류입니다. 만일 'blind' startup acceleration rate가 선택되었다면 startup 전류는 startup 구간에 영향을 주지 않을 것입니다. 그러나 작은 startup 전류는 startup 실패를 야기할 수 있는 좀 더의 기회를 갖을 것입니다. 다른 한편으로 만일 작은 startup 전류가 애플리케이션에서 요구된다면 우리는 신뢰성 있는 startup을 확보하기 위해서 acceleration rate를 낮추는 것이 요구됩니다. 'blind' startup에는 몇가지 단점이 있습니다.

1) startup은 closed loop 방법보다 느립니다.

100% 성공률을 얻기 위해서 acceleration rate은 큰 마진과 함께 식 A1 < Ip*Kt / J을 만족시켜야 합니다. 왜냐하면 제어기는 모터가 동상에 있는지 아닌지(즉 모터가 구동 속도를 따르는 것을 실패하는 것입니다) 알지 못하기 때문입니다. 만일 어떤 것이 모터 회전을 방해한다면, 제어기는 모터의 이들 벗어난 조건을 바로잡는 것이 불가능하고 시도하지도 않습니다. 예를 들어, 샤프트 마찰은 조립의 이유로 다른 모터들보다 혹은 모터가 완전히 정지하지 않은 그리고 제어기가 회전을 시도할 때 반대방향으로 움직일 때보다 조금 큽니다.

2) 예측 가능한 부하에 대해서 잘 동작합니다.

면도기, 머리 트리머 그리고 장난감에 대하여 부하는 어떻게 사용자가 그것을 사용하는 가에 따라 크게 변하게 됩니다.

3) 서로 다른 모터와 애플리케이션에 대해서 다른 파라미터를 요구합니다.

사용자는 부하 조건을 이해하고 모든 특별한 애플리케이션에 적합하도록 제어기를 튜닝할 필요가 있습니다. 무엇보다도 'blind' startup은 팬이나 펌프 그리고 예측 가능한 부하를 갖는 다른 형태의 모터에 실용적인 방법입니다.

The drawback of ‘blind’ spin up is that the motor may start with back and forth; the aesthetics aren’t desirable if the motor blades are exposed to customers (for example ceiling or pedestal fans. Also, for applications where reverse spinning is prohibited (for example HDD motor or VCM) you should not choose ‘blind’ spin up. Initial position detect (IPD) method can avoid the reversing or back and forth during startup. Check back for part III of this series, which will cover the principle of IPD, the typical implementation of IPD and the how to select the IPD parameters.

'blind' startup의 결점은 모터가 앞뒤로 움직이며 회전을 시작할 수 있다는 것입니다; 미학은 모터의 바람개비 날개가 사용자에게 노출되는 한 요구되지 않는다는 것입니다(예를 들어 천장 혹은 받침대 팬). 또한 역회전이 금지된 애플리케이션(예를 들어 HDD 모터 혹은 VCM)에서 'blind' startup을 선택하지 않아야 합니다. 초기 위치 감지(IPD) 방법은 역회전 혹은 startup 동안에 앞뒤로 움직임은 피할 수 있습니다.

전기회로(electrical circuit)에서 전류를 구하는 방법과 유사하게 자성체 각 부분의 자속을 구하기 위해 회로를 구성할 수 있는데 이를 자기회로(magnetic circuit)라고 부릅니다. 일반적으로 권선수 N인 철심의 평균길이를 lc, 단면적을 Ac, 권선의 유입전류를 I라 하면 순(net) 전류에 의해 발생되는 자계와의 관계를 나타내는 암페어(Ampere) 법칙은 다음과 같습니다.

전류와 자속은 각각 다음과 같습니다.

여기서 Rm은 전기저항 R과 유사한 자기저항(magnetic resistance) 혹은 릴럭턴스(magnetic reluctance)이며, F는 자속을 발생하는 힘인 기자력(Magneto-motive Force; mmf)으로 기전력(Electro-motive Force; emf)과 대비됩니다. 그리고 전류밀도와 자속밀도는 각각 다음과 같습니다.

여기서 H는 외부로부터 인가되는 자계(자기장; 자화력)의 세기(Magnetic Field Intensity)이고 μ는 투자율(permeability)로 의 관계를 가지며 μr은 해당 물질의 비투자율(relative permeability)을 의미합니다. 그리고 전기저항과 자기저항은 각각 다음과 같습니다.

여기서 σ는 전자가 흐르는 정도를 나타내는 도전율(conductivity)이고 마찬가지로 투자율 μ는 자속을 투과시키는 정도(B/H) 혹은 외부로부터 인가되는 자장의 세기에 대한 자속의 발생 능력을 의미합니다. 따라서 자기회로에서도 오옴(ohm)의 법칙과 Kirchhoff의 법칙이 상보적(쌍대관계)으로 적용될 수 있습니다. 그러나 자기회로에서는 대표적으로 자기 포화(magnetic saturation)와 히스테레시스(hysteresis), fringing 효과 등의 현상이 존재합니다.

만일 코어에 두께가 g인 공극이 존재하고 코어의 투자율이 주변 공기의 투자율에 비해 매우 크다고 가정하면, 자기장은 공극을 제외하고는 코어에 갇히게 되어 공극에서의 자기저항은 다음과 같습니다. 이 경우에 공극의 릴럭턴스는 코어의 릴럭턴스와 전기회로에서와 같이 직렬연결된 것이 되고 등가저항도 전기회로에서와 같이 직렬회로에 준하여 합이 됩니다.

자기회로와 전기회로의 유사성은 저항을 통한 전류흐름은 에너지를 소모하고 릴럭턴스를 통한 자속의 흐름은 에너지를 저장하는데 있다는 것입니다.

부록 A. 여러가지 물질의 비투자율

부록 B. 자성체의 구분

PM(Permanent Magnet) 모터는 회전자 권선 대신 영구 자석을 사용하여 권선에 전력을 공급할 필요가 없으므로 고효율이고, 운전시간이 길수록 표준 모터에 비해 유지비가 절감되어 근래에 각광받고 있다는 것입니다. PM 모터는 회전자 표면에 영구 자석을 붙인 구조의 SPM(Surface Permanent Magnet) 모터와 회전자 내부에 영구 자석을 매입한 구조인 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터로 구분됩니다.

최근에는 일반적으로 작은 사이즈에 고출력, 고효율 전동기를 설계하기 위해 모터 속도를 높이는 방향의 설계가 진행되고 있어 이에 따라 과거 DC 모터와 유도 전동기 또는 SPM 모터가 점차 IPM 모터로 대체되고 있는 추세라는 것입니다.

다음은 SPM 모터의 장단점입니다.

1) 저속 고토크의 토크제어를 하는 로봇 및 공작기계 등에 적합합니다.

2) 회전자의 위치에 따라 자기 저항이 변하지 않아 자기 인덕턴스 및 상호 인덕턴스는 일정한 값이 되므로 제어가 용이합니다.

3) 영구 자석 단면적 증가에 의한 발생 토크가 증가합니다.

4) 감자 문제 발생 가능성이 높습니다.

5) 자석 형상을 변경하여 토크리플 최소화 가능합니다.

IPM 모터는 통상 SPM 모터에 비해 다음과 같은 장점을 갖습니다.

1) 영구 자석이 회전자 코어 내부에 매입되므로 원심력 및 최대 토크를 이기는 영구 자석의 부착력을 보장할 수 있으므로 견고하여 고속회전에 유리합니다.

2) 마그네틱 토크와 릴럭턴스 토크의 병용으로 고 토크화(그러나 SPM 보다 소음 증대)가 가능합니다.

3) 회전자의 외경이 정교하게 가공되므로 공극을 작게 할 수 있습니다(편심이 적다).

4) 회전자 표면의 와전류(eddy current) 손실 저감으로 고효율화가 가능합니다.

5) 약계자 제어를 통해 운전 속도 범위를 이론적으로 무한대까지 가져갈 수 있어 고속 회전에 유리합니다.

SPM 모터에서는 Ld와 Lq의 자속 경로상의 유효 공극은 동일합니다. 모터에 사용되어진 페라이트나 희토류 계통의 영구 자석은 고정자 코어인 투자율이 높은 규소강판과 달리 매우 낮은 투자율(permeability)을 가졌고(혹은 영구 자석의 비투자율이 진공 중의 공기와 거의 같다) 따라서 인덕턴스 계산에서 공기로서 간주될 수 있어, Ld=Lq이고 매우 낮은 인덕턴스 돌극성을 갖습니다. 결과적으로 모터 단자에서 측정된 인덕턴스 값은 회전자 위치에 상관없이 일정하게 됩니다.

반면에 IPM 모터에서는 영구 자석은 회전자의 내부에 매입되었고 영구 자석은 낮은 투자율(즉, 큰 릴럭턴스)을 가졌기 때문에 회전자 위치에 따른 자속 경로 상의 유효 공극은 변하게 됩니다. 이것을 자기적 돌극성(magnetic saliency)이라 부르며 회전자의 위치에 따른 모터 단자에서의 인덕턴스의 변화로 나타나게 됩니다. 어떤 경우에는 이러한 인덕턴스의 변화를 감지하여 간접적으로 회전자의 위치를 파악하는데 사용되기도 한다는 것입니다.

q축은 고정자 코어의 중심과 인접하는 2개의 영구 자석 자극부의 사이를 통과하는 인덕턴스 Lq, d축은 고정자 권선에 의한 생성되는 자계와 영구 자석의 자계와 일치시켰기 때문에 고정자 코어의 중심과 영구 자석의 중심을 통과한 인덕턴스 Ld는 유효 공극의 증가로 감소하게 된다는 것입니다. 한편 Lq/Ld를 돌극비(saliency ratio)라고 하고 이에 비례하여 약계자 제어를 통한 광범위한 가변속 운전을 할 수 있다는 것입니다.

일반적인 동기 릴럭턴스 모터(SynEM)는 자기적 돌극성에 의해 전기자 권선의 자기 인덕턴스 L과 상호 인덕턴스 M이 회전자의 위치에 따라 변하고, 이것에 따라 공극(air gap)에 저장된 에너지가 기계 에너지로 변환되는데, 이러한 토크 발생 메카니즘에 의해서 발생되는 토크를 일반적으로 릴럭턴스 토크(Reluctance torque)라고 합니다.

IPM 모터에서 릴럭턴스 토크는 자속이 영구 자속부문을 통과하는 자기저항과 그 이외의 부분을 통과하는 자기저항이 다르며, 이러한 자기저항의 차이에 의해 발생하는 회전력 성분을 의미합니다. 다음 그림은 분포권의 고정자를 갖는 회전자에 영구 자석이 없는 동기 릴럭턴스 모터(SynRM)와 SPM 모터, 그리고 IPM 모터의 인덕턴스 분포를 나타낸 것입니다.

SPM에서는 영구 자석의 전기자 쇄교자속은 회전자의 회전각에 따라 정현적으로 변하기 때문에 영구자석의 전기자 쇄교자속을 이용한 토크를 발생시킬 수 있습니다. 반면에 IPM 모터의 영구 자석의 전기자 쇄교자속은 SPM과 같이 정현적으로 변화하고 뿐만 아니라, 자기 인덕턴스 및 상호 인덕턴스 역시 전기자 쇄교자속과 비교하여 두 배의 속도로 변화하게 됩니다. 그러므로 IPM의 토크 발생에는 전기자 자기 인덕턴스, 상호 인덕턴스, 영구 자석의 전기자 쇄교자속의 변화가 영향을 끼쳐 계자제어를 사용하여 최대 토크를 낼 수 있다는 것입니다.

상전류에 의한 쇄교자속은 다음과 같습니다.

여기서 B는 자속밀도이며 Ampere의 법칙에 의해서 권선에 관통하는 전류 i는 임의의 폐선로에 걸친 자계의 세기 H의 적분과 같으므로 다음과 같습니다.

여기서 g는 공극 두께이고, lm은 영구 자석의 길이, N은 권선의 수를 의미합니다. 권선에 발생한 자기력선은 권선으로부터 출발하여 공극 그리고 영구 자석, 공극, 권선으로 다시 들어오므로 공극 두께와 영구 자석의 길이의 2배가 됩니다. 공기 중에서 자속밀도 이므로 위 식으로부터 자속밀도는 다음과 같이 됩니다.

단, 음는 공기 중에서의 투자율(permeability)입니다. 쇄교자속의 식에서 권선 단면의 면적을 A라 놓고 위의 자속밀도를 대입하여 인턱턴스 L에 대해서 정리하면 다음과 같습니다.

모터를 벡터 제어 기법으로 구동하기 위해서는 3상의 모터 시스템을 벡터로 접근해야 하며 가장 쉽게 이해할 수 있는 abc 좌표계에서 구동에 필수적인 d-q 좌표계로의 변환과 그에 따른 모델링이 요구됩니다. 3상 모터의 전압이나 전류 그리고 자속을 벡터로 접근하는 근본적인 이유는 기구적으로 고정자 권선이 120˚ 간격으로 배치되었기 때문으로 전류를 예를 들어 전체 공간 벡터식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 a는 다음 그림에서와 같이 각 상의 120˚ 등간격의 기구적인 배치를 의미하는 것이며, 각 상의 전류 ia, ib, ic는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 a축 방향은 a상 권선에 의해 발생하는 자속의 방향을 의미합니다.

위의 abc 좌표계에서 3상의 전류는 서로 120˚이 위상차를 가짐을 나타내며 위의 전류의 전체 공간 벡터식에 대입하고 이를 간략화하면 다음 식과 같습니다. 

즉, 전류 공간 벡터는 abc 좌표계의 원점을 중심으로 겹쳐진 복소평면의 음의 허수부축에서부터 반시계 방향으로 회전하게 됩니다. 이는 3상 모터의 고정자 권선이 120˚ 간격의 배치된 상태에서 각 상에 120˚의 위상차를 갖는 정현파 전류의 인가로 발생하게 된다는 것입니다.

abc 좌표계에서 모터의 동특성 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 총 쇄교 자속 입니다.

또한 abc 좌표계에서 쇄교 자속 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 상호 인덕턴스는 대칭적(Lab = Lba)이고 인덕턴스는 angle(θ)에 따라 변하게 됩니다. 다음 식에서 보는 바와 같이 자기 인덕턴스는 회전자인 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치할 때 최대이고, 상호 인덕턴스는 쇄교와 동상의 중간에서 최대가 됩니다. 즉, 회전자가 q축에 있을 때 자기 인덕턴스가 최대이고 d축과 q축 사이에서 상호 인덕턴스가 최대가 된다는 것입니다.

Ls는 공극(air gap) 자기저항(reluctance)의 일정 성분으로 로 나타내는데, Lso는 토크를 생성하는 인덕턴스이고 Lsl는 고정자의 누설 인덕턴스입니다. 또한 Lx는 공극 자기저항의 정현적으로 변화하는 성분의 크기이며 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터의 돌극성으로 인하여 2θ의 항으로 나타납니다. 상호 인덕턴스 Lab, Lbc, Lac에서 -1/2 계수는 각 상이 120˚ 간격으로 위치되어지고 따라서 cos(2π/3)=-1/2이며 반면에 고정자에서 쇄교 자속은 다음과 같습니다.

여기서 λ는 회전자인 영구 자석에 의한 고정자 권선의 쇄교 자속이고, θ는 여전히 a축과 d축의 전기각이며 입력 전력은 다음과 같습니다.

출력 전력과 출력 토크는 abc 좌표계에서 유도하기 어렵기 때문에 생략합니다. 위와 같은 모터의 동특성 방정식과 쇄교 자속 방정식 등은 d-q 좌표계로 변환할 필요가 있습니다. abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다.

또한 d-q 좌표계에서 다시 abc 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다. 

여기서는 전류를 변환하였지만 이외에도 전압, 쇄교 자속에 대해서도 동일하게 적용할 수 있습니다. 영축 I0는 영상분축이라고도 부르며 balanced 3상 시스템에서는 항상 '0'이 됩니다. 이는 전류, 전압 그리고 쇄교 자속 모두가 순시적인 합이 '0'이 되는 정현파 시스템이기 때문에 가능하다는 것입니다.

abc 좌표계에서 고정자 3상의 전압을 d-q 좌표계로 변환하면 vd와 vq는 va, vb 그리고 vc로 나타낼 수 있고 이를 동특성 방정식을 이용하여 ia, ib, ic 그리고 λa, λb, λc 변수들에 의한 식으로 전개합니다. 그리고 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로의 위 행렬 변환식으로부터 3상의 전류 i와 쇄교 자속 λ를 d-q 좌표계에서의 전류 id, iq 그리고 쇄교 자속 λd, λq에 의한 식으로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 d-q 좌표계의 쇄교 자속 λd과 λq는 다음과 같습니다. 회전자의 자속은 d축과 일치(d축과 a축의 전기각이 0)하도록 변환하였으므로 q축 상의 자속에 영구 자석으로부터의 기여는 없게 됩니다.

여기서 Lq와 Ld는 각각 q축과 d축에 동기화된 자기 인덕턴스라 부르고 다음과 같이 정의됩니다.

동기 인덕턴스는 3상 balanced 조건에서 유효 인덕턴스가 되고 각 동기 인덕턴스는 누설 인덕턴스를 포함한 자기 인덕턴스와 다른 2상으로부터의 기여로 이루어집니다. Ls는 평균 인덕턴스로 Ls = (Lq + Ld)/2 이고 Lx는 인덕턴스 변화분(fluctuation)으로 Lx = (Lq – Ld)/2입니다. 그러므로 d-q 좌표계에서의 동특성 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

순시 전력은 abc 좌표계에서 입력 전력으로 각 상에 대한 전압 va,vb, vc 그리고 ia, ib, ic를 d-q 좌표계의 전압 vd, vq와 전류 id, iq로 변환하여 대입하면 다음과 같습니다.

모터의 전기적인 토크는 자속과 전류에 비례하므로 다음과 같습니다.

여기서 K는 관련상수이며, 이를 d-q 좌표계의 쇄교 자속과 전류로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 P는 모터의 극(pole)수입니다. 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면, 이 때 λq=0가 되어 토크는 (K는 관련 상수)이 됩니다. 위에서 d-q 좌표계의 자속 λd, λq 식을 대입하면 다음과 간략화 됩니다.

만일 d축의 전류 id를 0으로 제어한다면 다음과 같이 간략화됩니다. SPM(Surface Permanent Magnet)의 경우에 항상 공극의 인덕턴스는 일정하므로 Lq=Ld=Ls가 되지만, IPM의 경우는 Lq>Ld가 되어 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치시키더라도 전류 id를 반드시 0으로 제어하여야 합니다. 하지만 적당한 id와 iq를 흘려 추가적인 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 얻을 수도 있습니다.

여기서 이고, 기계적인 토크식은 다음과 같습니다.

여기서 , 이고, J는 회전자의 관성 모멘트, B는 점성 마찰 계수, TL은 부하 토크입니다. 전기적인 토크 Te와 기계적인 토크 Tm은 일치해야 하므로 위 방정식으로 부터 다음과 같습니다.

위 식으로부터 PMSM의 d-q 좌표계에서의 상태(동특성) 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

IPM 모터에서는 아래의 토크식에서와 같이 앞에서 설명한 것처럼 전류 ia와 q축과의 위상차 β를 제어함으로서 각종 모드의 운전이 가능합니다.

1)  제어

d축 전류를 0으로 유지하는 제어로 전류벡터 ia는 부하상태에 따라서 q축상에서만 이동하게 되고 이 때 발생하는 토크는 β＝０을 대입함으로서 다음과 같이 됩니다.

그러므로 토크가 q축 전류에만 비례하는 선형제어로 마그네틱 토크(magnetic torque)만 사용하게 되며, 돌극비가 1인 즉, Lq=Ld인 SPM 모터에서는 일반적인 제어법이며 토크 발생에 기여하지 않는 d축 전류를 흘리지 않기 때문에 동일한 토크 조건에서는 최소 전류로 운전가능하다는 것입니다.

하지만 IPM 모터에서는 일 때는 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 이용할 수 없기 때문에 반드시 적절한 제어라고는 말할 수는 없습니다.

2) 최대 토크 전류제어

IPM 모터에서 동일한 전류에 대해서 발생 토크를 최대로 제어하는 방법으로 전기자 전류에 대해서 가장 효율적으로 토크를 발생시키는 조건이 됩니다. 다음 식은 위의 토크식을 β로 미분하여 토크가 최대가 되는 β 값을 찾기 위한 식입니다.

여기에 삼각함수 공식 를 대입하여 의 2차 방정식을 풀면 β와 d축 전류 id는 다음과 같습니다.

이는 최대 토크를 부여하는 전류위상각으로 이와 같이 β를 제어하여 최대토크 운전을 할 수 있습니다.

3) 약자계 혹은 약계자 제어(field weakening; flux weakening)

IPM 모터에서 β를 제어하면 d축의 총자속은 이며 d축 전류는 영구 자석의 자속을 감자(減磁)하게 됩니다. 이것은 약계자 작용으로 되어 총합자속 λ0(여기서는 φ0)를 감소시킵니다. 

즉, q축으로부터 미소 β만큼 반시계 방향으로 변하면 전류의 d축 성분 id가 존재하므로 영구 자석의 자속 φm을 감자하게 됩니다. 이를 시간 관점(time domain)에서 생각해보면 IPM 모터가 일정한 각속도로 회전하는 정상상태에서 현재의 회전자의 각 정보를 얻은 후 β를 합하여 다음 sampling 순간에 d-q축 상에 전류 성분을 제어해야 하는데, 이는 d-q축 상에서 반시계 방향으로 회전하는 회전자계를 동일 sampling 시간 간격에 더 많이 회전시키는 효과가 되므로 진각(advanced angle)을 주는 것과 같습니다. 따라서 아래 그림의 β축은 angle advance와 같습니다.

이러한 진각 제어를 하는 데에는 다음과 같이 3가지 장점이 있습니다.

(1) 제어기(혹은 인버터)의 모든 제어 루프에서 생긴 위상 지연(phase lag)을 보상할 수 있습니다. 제어 루프는 위상 지연과 감쇄(attenuation)를 피할 수 없고 특히 제어 루프 대역폭에 비해서 높은 주파수(혹은 고속 회전)에서 지배적이어서 보상하지 않으면 아래 그림에서와 같이 토크의 감소를 가져온다는 것입니다.

(2) 영구 자석의 자속을 감자시킬 수 있습니다.

(3) IPM 모터에서는 앞당기고자 하는 각을 최적화하여 릴럭턴스 토크를 생성할 수 있습니다. 

예를 들어 세탁기용 모터는 매우 넓은 범위의 운전 영역을 필요로 합니다. 세탁을 위해서 낮은 속도에서 큰 토크가 요구되고 따라서 회전자의 자속을 최대화 해야 합니다. 그러나 고속 회전시에는 매우 낮은 회전자 자속을 요구하게 됩니다. 왜냐하면 모터의 역기전력(BEMF)은 각속도에 비례하여 증가하기 때문에 영구 자석의 자속을 줄여야 한다(field weakening)는 것입니다. 사실상 모터의 최고 속도 한계는 단자 전압의 역기전력이기 때문입니다.

여기서 l의 고정자 권선이 길이이며 r은 회전자의 회전축과의 거리입니다. 그러므로 자속 기준 제어는 모터의 역기전력(BEMF)이 제어기(혹은 인버터) 전압 한계에 도달한 후에 회전자의 자속을 줄이기 위해서 (달리 말해 자기포화 한계를 높게 하여) 전류 성분을 제어할 수 있습니다. 이는 토그 성분의 전류 iq가 아닌 회전자 자속의 방향과 같은 자속 성분의 전류 id로 제어함을 의미합니다.

결국 고속 회전 영역에서 역기전압이 단자전압(전원전압)보다 커지면 전류제어가 불가능하기 때문에 전류위상을 진각시켜 역기전압을 낮추고 제어기(인버터)의 내압조건을 완화시키는 것입니다. 또한 약자계 제어시 전류 진각을 크게 하는 경우에 있어서도 인덕턴스는 감소하므로 역기전압  상승을 억제시켜 고전류 밀도를 실현한다는 것입니다.

모터의 고정자(솔레노이드) 권선 내부에 축적되는 자기에너지(magnetic energy)는 다음과 같습니다.

여기서 이고 토크(회전력)는 회전축에서 거리 r만큼 떨어져 작용함을 나타내는 위치벡터와 가한 힘 F로 그리고 시간에 따른 각운동량(angular momentum)의 변화량으로 나타내면 토크는 다음과 같습니다.

여기서 각운동량을 선운동량 p로 연관지으면 이 되고 선운동량(linear momentum)은 p=mv의 관계가 있는데 m은 물체의 질량이고 v는 물체의 속도로 시간에 따른 선운동량의 변화인 dp/dt는 힘 F가 됩니다. 또한 일정한 토크로 물체를 θ만큼 회전시킨 경우 한 일 W는 W=Tθ인 관계가 성립하므로 고정자 권선 내부에 저장된 자기에너지가 모두 운동에너지(kinetic energy)로 전환되었다면 토크 Te는 회전자의 위치각 θ에 대한 편미분항으로서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그러므로 토크는 전류의 제곱에 비례하고 위치각에 대한 인덕턴스의 기울기에 비례함을 알 수 있습니다. 게다가 인덕턴스의 기울기에 따라서 토크의 부호가 달라지게 합니다. 결론적으로 인턱턴스(릴럭턴스) 변화로 토크를 얻는 것을 릴럭턴스 모터라 부릅니다.

영구 자석인 회전자가 고정자 상과 일치하지 않으면 자속의 경로는 길어지게 되고 이는 높은 자기저항(릴릭턴스)를 의미합니다. 반면에 일치하는 경우에는 자속의 경로는 짧아저 낮은 자기저항을 갖게 되는데, 이때 자속의 원천은 권선 내부에 저장된 자기에너지이며 자기에너지를 운동에너지로 쉽게 전환하기 위해서 자극 S, N에 상관없이 자기저항이 낮은 경로를 갖도록 회전자를 움직이게 하는 경향이 있다는 것입니다. (자기저항은 공극이 작아지면, 동일한 전류로 더 큰 쇄교자속을 얻을 수 있다는 것입니다)

PMSM의 모델식으로 토크는 다음과 같습니다.

돌극비(Lq/Ld)가 1보다 큰 IPM 모터를 만일 q축 성분의 전류만을 가지고 토크를 제어(id=0)하지 않으면 d축 성분의 전류로 인하여 q축과의 위상차인 β가 존재하며 이 때의 전류벡터를 ia라 놓을 수 있습니다. 다음 그림은 d-q 좌표계에서 전압방정식을 나타낸 것입니다.

여기서 r은 권선의 저항이며 회전에 의한 φq, φd의 미소변화를 고려하면 다음 그림에서와 같이 방향에 대해서는 Δθ→0의 극한을 고려하면 Δφd는 q축 방향으로, Δφq는 음의 d축 방향으로 향하고 있어 Δφd=Δθxφd, Δφq=Δθxφq의 벡터 방향을 결정하여 다음과 같습니다.

이를 고정자 권선 가운데를 자속이 회전하므로서 발생하는 기전력이며 속도기전력이라고 부릅니다. 

이 속도기전력은 자속 φ에 대하여 90˚ 진각(advance) 위상벡터(j를 곱하여 위상 90˚만큼 빠르게 함)를 ω배 한 것으로 ωφm, ωLdid, ωLqiq이며 이들 총화가 Vo이며, Vo에 전기자 권선 저항의 전압강하 ria을 더한 것이 단자전압 Va가 됩니다. , 인 관계가 있으므로 다시 위의 PMSM의 토크식에 이를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

오른쪽 제1항은 마그네트 토크(magnetic torque)를 나타내고, 제2항은 d축 자속경로와 q축 자속경로의 자기저항 차이에 의해서 발생하는 소위 돌극성에 의해 발생하는 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 나타냅니다. 다음 그림은 이들 토크와 전발생 토크(전체 토크)를 보여줍니다.

위 그림에서 전류가 일정한 상태에서 전류 위상 β를 변화시킬 때의 마그네틱 토크는 β=０°에서 최대가 되고, β＝１８０°에서 음의 최대가 되며, 릴럭턴스 토크는 β＝45°, －135°에서 최대인 2배의 주파수를 가지는데, 그 결과로 전발생 토크는 전류 위상 ０°＜β＜45° 범위에서 약 20% 정도 증가한 최대가 되며 135°＜β＜１８０°에서 음의 최대 토크가 된다는 것입니다. 이와 같이 β를 변화시키는 방식을 전류위상제어라고 부르며 전류벡터를 부하 조건에 맞게 적절히 선택함으로서 넓은 부하범위에서 고성능 운전을 가능하게 한다는 것입니다.

3상 공간 좌표계는 abc 좌표계 혹은 정지(ω=0) 좌표계(Stationary Reference Frame)라고도 합니다. 3상 좌표계의 a상이 발생시키는 자속의 방향과 일치하는 α축과 이에 직교하는 β축을 갖는 2차원 좌표계로의 변환을 Clarke 변환이라고 하며 이를 α-β 좌표계, d-q 정지 좌표계 혹은 회전자 좌표계(Rotor Reference Frame)라고 명명합니다.

위 행렬식에서 3번째 행은 가 되는데 3상 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등이 서로간에 120˚의 위상차를 갖는다면 balanced 조건을 만족하여 0이 되어 무시되어 집니다. 이를 0축분 혹은 영상축분이라 부르고 영상축분이 0이 되면 abc 좌표계는 2차원 직교 좌표계로 단순화되어 시스템을 쉽게 다룰 수 있다는 것입니다. 여기서 k1과 k2는 balanced 계수입니다. 일반적으로 변환 전후에 공간 벡터를 크기를 동일하게 하도록 balanced 계수 k1=2/3로 선택하고 생략되지 않는다면 k2=1/2가 됩니다.

또한 회전자(ω=ωr) 좌표계(Rotor Reference Frame)를 회전자의 위치 즉, 기준 자속의 angle(θ)를 알아내고 여기에 자속 성분을 일치시키기 위해서는 angle(θ) 만큼 원점을 중심으로 회전시켜야 합니다. 이와 같은 변환을 Park 변환이라고 하며 d-q 동기 좌표계, de-qe 좌표계 혹은 동기(ω=ωe) 좌표계(Synchronous Reference Frame)라고 명명합니다.

abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 바로 변환하려면 위 그림으로부터 다음과 같습니다.

반대로 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로 역변환하려면 행렬식 연산을 이용하여 위 식으로부터 다음과 같습니다. 비정방행렬이라 역행렬(inverse matrix)이 존재하지 않는 것처럼 보이지만 실제로는 d-q좌표계에 영상분(중성)축 0축을 고려한 3x3 정방행렬로 계산하고 balanced 조건하에서 영상분을 다시 제거한 것입니다.

위와 같은 좌표계 변환은 abc 좌표계에서 balanced 조건하에서 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등의 변환에 사용할 수 있습니다. 만일 기준 자속의 angle(θ)을 찾아내 실시간으로 회전자 좌표계의 d축과 일치시킨다면 회전자는 고정자의 회전자계와 같은 속도(synchronous)로 아래 그림과 같이 회전하게 됩니다.

이 때 고정자의 인가되는 전압과 전류 벡터는 회전자의 회전축에서 볼 때 항상 일정한 값으로 보인다는 것입니다. 그러므로 아래 그림에서처럼 d-q 좌표계는 abc와 α-β 좌표계와는 달리 시간에 따라 일정값을 보이게 됩니다. 즉, 이는 3상의 시변 시스템이 2축의 시불변으로 시스템으로 간주되어 이와 같이 변환이 제어를 용이하게 한다는 것입니다.

유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터의 토크(Torque)는 회전자인 영구 자석의 회전으로 인한 역기전력(BEMF)과 고정자에 흐르는 3상 전류에 비례합니다. 여기서 역기전력은 시간에 따른 쇄교 자속의 변화율로 고정자 권선에 의해서 발생하는 자속과 회전자 영구 자석에 의해서 생성되는 자속이 쇄교(직교)하는 시점에서 최대가 됩니다. 모터에서 생성되는 토크는 다음과 같습니다.

여기서 Te는 electromagnetic 토크를 의미하고 K는 관련상수이며, λ는 회전자에 의한 쇄교 자속이고 전류 i와 마찬가지고 3상의 net한 공간 벡터입니다.

토크는 역기전력에 비례하므로 방향은 플레밍(Fleming)의 오른손 법칙을 따르고 벡터의 외적(cross product)으로 공간 벡터 λ와 i에 의해서 형성되는 위 그림과 같이 면적과 같습니다. 만일 물리적 3상 좌표계에서 보다 직관적인 2축 직교좌표계로 변환을 하면 다음과 같습니다.

공간 벡터 λ와 i를 d-q 좌표축에 투영하면 두 점 (λd, λq), (id, iq)을 구할 수 있고, 원점과 함께 삼각형의 면적을 구하는 헤론(Heron)의 공식을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

만일 자속을 나타내는 공간 벡터 λ가 d축과 일치하고, 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면 이 때 λq=0가 되어 토크는 다음과 같이 간략화됩니다.

이는 토크를 3상 전류 공간 벡터 i의 q축 성분만을 조절하여 제어할 수 있음을 의미합니다. 즉, 자속을 기준하여 3상 공간상에서 전류의 크기와 방향을 제어하는 기법을 자속 기준 제어(Field Oriented Control; FOC) 혹은 벡터 제어라고 부릅니다.

위와 같은 제어를 위해서는 예를 들어 3상의 전류 공간 벡터를 직교하는 2차원 좌표계로 변환할 필요가 있으며, 회전자의 위치에 따라서 지속적인 토크 발생을 위해 d축을 회전자의 자속의 방향과 일치시킬 필요가 있습니다. 전자는 Clarke 변환(α-β 좌표계)이고 후자를 Park 변환(d-q 좌표계)이라고 말하며 이에 역변환(inverse transformation)도 필요하게 됩니다.

유도 전동기의 축 안으로 바라다 본 단면은 아래 그림과 같고 120도 간격으로 배치된 실제의 3개의 상 혹은 권선은 a, b, c로 나타낼 수 있으며, 각 상(권선)에 흐르는 전류는 ia, ib, ic는 전체 is = ia + ib + ic로 나타낼 수 있습니다. 여기서 전류는 위상을 가진 값으로 복소수 형태로 나타낼 수 있으며, 각 상의 전류는 벡터로 방향이 오직 a축, b축 그리고 c축 상에서만 움직이는 값이 갖게 됩니다. 따라서 net한 전체 is는 각 전류 벡터의 합으로 시간에 따라 변하는 일정한 크기와 방향을 갖는 공간 벡터(space vector)가 됩니다.

여기서 이고 위의 3상의 공간 벡터를 쉽게 다루기 위해서 2차원의 직교 좌표시스템으로 변경할 수 있습니다. 만일 이 좌표시스템을 한 축이 3상의 a상 축과 일치하는 α축과 이에 수직인 β축이라 명명하면 각 상을 2차원의 α-β 직교 좌표계로 다음과 같이 투영할 수 있습니다.

이를 컴퓨터 계산이 용이한 행렬식의 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

이를 Clarke 변환이라고 합니다. 3상의 전류 ia, ib 그리고 ic를 최대치가 이고 a상으로부터 순서데로 120˚의 위상차를 갖는 정현파(sinusoidal) 전류로 고려하면 공간 벡터 is는 다음과 같습니다.

이 때 위 가정으로부터 이므로 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

위 식에서 와 는 α-β 좌표계의 단위벡터이며 ω는 각속도이고 삼각함수 합의 공식을 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.

이 공간 벡터 is는 각 상에 흐르는 전류의 크기에 1.5배로 균일함을 알 수 있습니다. 위 식을 오일러(Euler) 공식을 이용하여 변형하면 다음과 같습니다.

그러므로 각속도 ω로 반시계 방향으로 회전하고 음의 β축에서 시작하는 회전전류임을 알 수 있습니다. 결론적으로 각 상에 120˚ 위상차를 갖는 정현파 전류를 a상을 기준으로 인가하면, 공간 벡터 is는 음의 β축에서부터 시작하여 1.5배의 일정한 크기로 반시계 방향으로 부드럽게 회전하게 된다는 것입니다.

위와 같이 120˚ 위상을 갖는 3상 정현파 전류를 인가한 고정자의 동일한 조건에서 고정자에서 발생한 자속 밀도는 암페어(Ampere) 법칙에 의해 전류와 비례하므로 유도 전동기이든 PMSM을 포함한 BLDC 모터이든 총 net 전류 is와 같이 총 net 자속 밀도도 동일하게 한 상이 갖는 최대 자속 밀도의 1.5배로 회전하는 자속(회전자계)이 생기게 된다는 것입니다.

이러한 회전자계는 물리적인 고정자 안에 즉, abc 좌표계에서 N극과 S극으로 나타낼 수 있는데, 공급되는 전류의 주기마다 고정자 주위를 1회전하게 되며, 이 모터를 구동하기 위해서는 회전자의 영구 자석에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 고정자에 정현파 전류를 흘려야 한다는 것입니다.