PMSM의 모델식

모터를 벡터 제어 기법으로 구동하기 위해서는 3상의 모터 시스템을 벡터로 접근해야 하며 가장 쉽게 이해할 수 있는 abc 좌표계에서 구동에 필수적인 d-q 좌표계로의 변환과 그에 따른 모델링이 요구됩니다. 3상 모터의 전압이나 전류 그리고 자속을 벡터로 접근하는 근본적인 이유는 기구적으로 고정자 권선이 120˚ 간격으로 배치되었기 때문으로 전류를 예를 들어 전체 공간 벡터식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 a는 다음 그림에서와 같이 각 상의 120˚ 등간격의 기구적인 배치를 의미하는 것이며, 각 상의 전류 ia, ib, ic는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 a축 방향은 a상 권선에 의해 발생하는 자속의 방향을 의미합니다.

위의 abc 좌표계에서 3상의 전류는 서로 120˚이 위상차를 가짐을 나타내며 위의 전류의 전체 공간 벡터식에 대입하고 이를 간략화하면 다음 식과 같습니다. 

즉, 전류 공간 벡터는 abc 좌표계의 원점을 중심으로 겹쳐진 복소평면의 음의 허수부축에서부터 반시계 방향으로 회전하게 됩니다. 이는 3상 모터의 고정자 권선이 120˚ 간격의 배치된 상태에서 각 상에 120˚의 위상차를 갖는 정현파 전류의 인가로 발생하게 된다는 것입니다.

abc 좌표계에서 모터의 동특성 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 총 쇄교 자속 입니다.

또한 abc 좌표계에서 쇄교 자속 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 상호 인덕턴스는 대칭적(Lab = Lba)이고 인덕턴스는 angle(θ)에 따라 변하게 됩니다. 다음 식에서 보는 바와 같이 자기 인덕턴스는 회전자인 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치할 때 최대이고, 상호 인덕턴스는 쇄교와 동상의 중간에서 최대가 됩니다. 즉, 회전자가 q축에 있을 때 자기 인덕턴스가 최대이고 d축과 q축 사이에서 상호 인덕턴스가 최대가 된다는 것입니다.

Ls는 공극(air gap) 자기저항(reluctance)의 일정 성분으로 로 나타내는데, Lso는 토크를 생성하는 인덕턴스이고 Lsl는 고정자의 누설 인덕턴스입니다. 또한 Lx는 공극 자기저항의 정현적으로 변화하는 성분의 크기이며 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터의 돌극성으로 인하여 2θ의 항으로 나타납니다. 상호 인덕턴스 Lab, Lbc, Lac에서 -1/2 계수는 각 상이 120˚ 간격으로 위치되어지고 따라서 cos(2π/3)=-1/2이며 반면에 고정자에서 쇄교 자속은 다음과 같습니다.

여기서 λ는 회전자인 영구 자석에 의한 고정자 권선의 쇄교 자속이고, θ는 여전히 a축과 d축의 전기각이며 입력 전력은 다음과 같습니다.

출력 전력과 출력 토크는 abc 좌표계에서 유도하기 어렵기 때문에 생략합니다. 위와 같은 모터의 동특성 방정식과 쇄교 자속 방정식 등은 d-q 좌표계로 변환할 필요가 있습니다. abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다.

또한 d-q 좌표계에서 다시 abc 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다. 

여기서는 전류를 변환하였지만 이외에도 전압, 쇄교 자속에 대해서도 동일하게 적용할 수 있습니다. 영축 I0는 영상분축이라고도 부르며 balanced 3상 시스템에서는 항상 '0'이 됩니다. 이는 전류, 전압 그리고 쇄교 자속 모두가 순시적인 합이 '0'이 되는 정현파 시스템이기 때문에 가능하다는 것입니다.

abc 좌표계에서 고정자 3상의 전압을 d-q 좌표계로 변환하면 vd와 vq는 va, vb 그리고 vc로 나타낼 수 있고 이를 동특성 방정식을 이용하여 ia, ib, ic 그리고 λa, λb, λc 변수들에 의한 식으로 전개합니다. 그리고 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로의 위 행렬 변환식으로부터 3상의 전류 i와 쇄교 자속 λ를 d-q 좌표계에서의 전류 id, iq 그리고 쇄교 자속 λd, λq에 의한 식으로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 d-q 좌표계의 쇄교 자속 λd과 λq는 다음과 같습니다. 회전자의 자속은 d축과 일치(d축과 a축의 전기각이 0)하도록 변환하였으므로 q축 상의 자속에 영구 자석으로부터의 기여는 없게 됩니다.

여기서 Lq와 Ld는 각각 q축과 d축에 동기화된 자기 인덕턴스라 부르고 다음과 같이 정의됩니다.

동기 인덕턴스는 3상 balanced 조건에서 유효 인덕턴스가 되고 각 동기 인덕턴스는 누설 인덕턴스를 포함한 자기 인덕턴스와 다른 2상으로부터의 기여로 이루어집니다. Ls는 평균 인덕턴스로 Ls = (Lq + Ld)/2 이고 Lx는 인덕턴스 변화분(fluctuation)으로 Lx = (Lq – Ld)/2입니다. 그러므로 d-q 좌표계에서의 동특성 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

순시 전력은 abc 좌표계에서 입력 전력으로 각 상에 대한 전압 va,vb, vc 그리고 ia, ib, ic를 d-q 좌표계의 전압 vd, vq와 전류 id, iq로 변환하여 대입하면 다음과 같습니다.

모터의 전기적인 토크는 자속과 전류에 비례하므로 다음과 같습니다.

여기서 K는 관련상수이며, 이를 d-q 좌표계의 쇄교 자속과 전류로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 P는 모터의 극(pole)수입니다. 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면, 이 때 λq=0가 되어 토크는 (K는 관련 상수)이 됩니다. 위에서 d-q 좌표계의 자속 λd, λq 식을 대입하면 다음과 간략화 됩니다.

만일 d축의 전류 id를 0으로 제어한다면 다음과 같이 간략화됩니다. SPM(Surface Permanent Magnet)의 경우에 항상 공극의 인덕턴스는 일정하므로 Lq=Ld=Ls가 되지만, IPM의 경우는 Lq>Ld가 되어 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치시키더라도 전류 id를 반드시 0으로 제어하여야 합니다. 하지만 적당한 id와 iq를 흘려 추가적인 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 얻을 수도 있습니다.

여기서 이고, 기계적인 토크식은 다음과 같습니다.

여기서 , 이고, J는 회전자의 관성 모멘트, B는 점성 마찰 계수, TL은 부하 토크입니다. 전기적인 토크 Te와 기계적인 토크 Tm은 일치해야 하므로 위 방정식으로 부터 다음과 같습니다.

위 식으로부터 PMSM의 d-q 좌표계에서의 상태(동특성) 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.