Drone's DIYer

모터의 고정자(솔레노이드) 권선 내부에 축적되는 자기에너지(magnetic energy)는 다음과 같습니다.

여기서 이고 토크(회전력)는 회전축에서 거리 r만큼 떨어져 작용함을 나타내는 위치벡터와 가한 힘 F로 그리고 시간에 따른 각운동량(angular momentum)의 변화량으로 나타내면 토크는 다음과 같습니다.

여기서 각운동량을 선운동량 p로 연관지으면 이 되고 선운동량(linear momentum)은 p=mv의 관계가 있는데 m은 물체의 질량이고 v는 물체의 속도로 시간에 따른 선운동량의 변화인 dp/dt는 힘 F가 됩니다. 또한 일정한 토크로 물체를 θ만큼 회전시킨 경우 한 일 W는 W=Tθ인 관계가 성립하므로 고정자 권선 내부에 저장된 자기에너지가 모두 운동에너지(kinetic energy)로 전환되었다면 토크 Te는 회전자의 위치각 θ에 대한 편미분항으로서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그러므로 토크는 전류의 제곱에 비례하고 위치각에 대한 인덕턴스의 기울기에 비례함을 알 수 있습니다. 게다가 인덕턴스의 기울기에 따라서 토크의 부호가 달라지게 합니다. 결론적으로 인턱턴스(릴럭턴스) 변화로 토크를 얻는 것을 릴럭턴스 모터라 부릅니다.

영구 자석인 회전자가 고정자 상과 일치하지 않으면 자속의 경로는 길어지게 되고 이는 높은 자기저항(릴릭턴스)를 의미합니다. 반면에 일치하는 경우에는 자속의 경로는 짧아저 낮은 자기저항을 갖게 되는데, 이때 자속의 원천은 권선 내부에 저장된 자기에너지이며 자기에너지를 운동에너지로 쉽게 전환하기 위해서 자극 S, N에 상관없이 자기저항이 낮은 경로를 갖도록 회전자를 움직이게 하는 경향이 있다는 것입니다. (자기저항은 공극이 작아지면, 동일한 전류로 더 큰 쇄교자속을 얻을 수 있다는 것입니다)

PMSM의 모델식으로 토크는 다음과 같습니다.

돌극비(Lq/Ld)가 1보다 큰 IPM 모터를 만일 q축 성분의 전류만을 가지고 토크를 제어(id=0)하지 않으면 d축 성분의 전류로 인하여 q축과의 위상차인 β가 존재하며 이 때의 전류벡터를 ia라 놓을 수 있습니다. 다음 그림은 d-q 좌표계에서 전압방정식을 나타낸 것입니다.

여기서 r은 권선의 저항이며 회전에 의한 φq, φd의 미소변화를 고려하면 다음 그림에서와 같이 방향에 대해서는 Δθ→0의 극한을 고려하면 Δφd는 q축 방향으로, Δφq는 음의 d축 방향으로 향하고 있어 Δφd=Δθxφd, Δφq=Δθxφq의 벡터 방향을 결정하여 다음과 같습니다.

이를 고정자 권선 가운데를 자속이 회전하므로서 발생하는 기전력이며 속도기전력이라고 부릅니다. 

이 속도기전력은 자속 φ에 대하여 90˚ 진각(advance) 위상벡터(j를 곱하여 위상 90˚만큼 빠르게 함)를 ω배 한 것으로 ωφm, ωLdid, ωLqiq이며 이들 총화가 Vo이며, Vo에 전기자 권선 저항의 전압강하 ria을 더한 것이 단자전압 Va가 됩니다. , 인 관계가 있으므로 다시 위의 PMSM의 토크식에 이를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

오른쪽 제1항은 마그네트 토크(magnetic torque)를 나타내고, 제2항은 d축 자속경로와 q축 자속경로의 자기저항 차이에 의해서 발생하는 소위 돌극성에 의해 발생하는 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 나타냅니다. 다음 그림은 이들 토크와 전발생 토크(전체 토크)를 보여줍니다.

위 그림에서 전류가 일정한 상태에서 전류 위상 β를 변화시킬 때의 마그네틱 토크는 β=０°에서 최대가 되고, β＝１８０°에서 음의 최대가 되며, 릴럭턴스 토크는 β＝45°, －135°에서 최대인 2배의 주파수를 가지는데, 그 결과로 전발생 토크는 전류 위상 ０°＜β＜45° 범위에서 약 20% 정도 증가한 최대가 되며 135°＜β＜１８０°에서 음의 최대 토크가 된다는 것입니다. 이와 같이 β를 변화시키는 방식을 전류위상제어라고 부르며 전류벡터를 부하 조건에 맞게 적절히 선택함으로서 넓은 부하범위에서 고성능 운전을 가능하게 한다는 것입니다.

유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터의 토크(Torque)는 회전자인 영구 자석의 회전으로 인한 역기전력(BEMF)과 고정자에 흐르는 3상 전류에 비례합니다. 여기서 역기전력은 시간에 따른 쇄교 자속의 변화율로 고정자 권선에 의해서 발생하는 자속과 회전자 영구 자석에 의해서 생성되는 자속이 쇄교(직교)하는 시점에서 최대가 됩니다. 모터에서 생성되는 토크는 다음과 같습니다.

여기서 Te는 electromagnetic 토크를 의미하고 K는 관련상수이며, λ는 회전자에 의한 쇄교 자속이고 전류 i와 마찬가지고 3상의 net한 공간 벡터입니다.

토크는 역기전력에 비례하므로 방향은 플레밍(Fleming)의 오른손 법칙을 따르고 벡터의 외적(cross product)으로 공간 벡터 λ와 i에 의해서 형성되는 위 그림과 같이 면적과 같습니다. 만일 물리적 3상 좌표계에서 보다 직관적인 2축 직교좌표계로 변환을 하면 다음과 같습니다.

공간 벡터 λ와 i를 d-q 좌표축에 투영하면 두 점 (λd, λq), (id, iq)을 구할 수 있고, 원점과 함께 삼각형의 면적을 구하는 헤론(Heron)의 공식을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

만일 자속을 나타내는 공간 벡터 λ가 d축과 일치하고, 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면 이 때 λq=0가 되어 토크는 다음과 같이 간략화됩니다.

이는 토크를 3상 전류 공간 벡터 i의 q축 성분만을 조절하여 제어할 수 있음을 의미합니다. 즉, 자속을 기준하여 3상 공간상에서 전류의 크기와 방향을 제어하는 기법을 자속 기준 제어(Field Oriented Control; FOC) 혹은 벡터 제어라고 부릅니다.

위와 같은 제어를 위해서는 예를 들어 3상의 전류 공간 벡터를 직교하는 2차원 좌표계로 변환할 필요가 있으며, 회전자의 위치에 따라서 지속적인 토크 발생을 위해 d축을 회전자의 자속의 방향과 일치시킬 필요가 있습니다. 전자는 Clarke 변환(α-β 좌표계)이고 후자를 Park 변환(d-q 좌표계)이라고 말하며 이에 역변환(inverse transformation)도 필요하게 됩니다.

다음 그림은 DC 모터의 토크 발생 원리를 설명하기 위한 개념도입니다.

위 그림과 같이 DC 모터에 전압 v를 인가하여 권선에 전류 i가 흐를 경우, 발생할 토크(회전력)는 위와 같이 플레밍(Fleming)의 왼손 법칙에 의하여 다음과 같습니다. 여기서 2는 회전축을 중심으로 같은 힘 F가 토크에 기여하기 때문이며 F는 로렌쯔(Lorentz)의 힘입니다.

τ = 2rF = 2ri(l x B)

그러므로 선분 ad와 bc는 위치에 따라서 힘이 작용할 수는 있지만 토크에는 기여하지 못하고, 선분 ab와 cd에서만 회전에 기여하는 토크가 발생합니다. 한편 페러데이(Faraday) 법칙에 의해서 기전력(electromagnet force) e는 다음과 같습니다. 여기서 속도 v = dx/dt = rdθ/dt = rω이고 ω는 각속도입니다. 

e = -dψ/dt = -BdA/dt = -Bldx/dt = -Blv = -Blrω

권선 길이 l 성분은 자속 밀도 B와 수직하므로 유도 기전력을 사용하여 토크의 크기를 다시 나타내면 다음과 같습니다. 결국 회전자를 영구 자석으로 고려하면 고정자 권선에 걸리는 역기전력은 오직 각속도에 비례함을 알 수 있습니다.

τ = 2rF = 2rilB = 2/ωei

따라서 토크는 고정자 권선에 흐르는 전류에 비례하고, 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기된 역기전력에 비례함을 나타냅니다.

교류 모터의 원리

영구 자석이 회전하는 BLDC 모터나 PMSM를 고려하면 자속 밀도 B가 변화하므로 토크는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

τ = 2rilBsinθ

고정자 권선에 i라는 전류가 흐르면, 권선이 이루는 면에 수직으로 발생하는 자속 밀도 Bs의 크기는 암페어(Ampere) 법칙에 의해서 전류 i에 비례하므로 Bs = Gi라 하면 다음과 같이 됩니다. 단, G는 루프의 형태와 관련된 상수입니다.

τ = 2rilBsinθ = 2rl/G·Bs·Bsinθ

여기서 k = 2rl/G라 하여 기기의 구조에 의존하는 값으로 정의하면 일반적인 토크는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

τ = k·Bs·Bsinθ = k·(Bs×B)

그러므로 토크는 권선에 의한 자속 밀도와 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(orthogonal, perpendicular)할 때 최대가 되고 같을 때 0이 됩니다. 이는 두 자계의 방향이 서로 일치하려는 작용에 의해 토크가 발생하고 회전자의 자계가 고정자의 자계와 일치하는 방향으로 토크가 발생한다는 것입니다. 위 그림에서 θ가 0도인 경우는 회전 토크에 기여하지 못하는 것으로 다른 말로 쇄교하는 자속 밀도가 시간에 따라 변화가 없어 역기전력은 0이 되어 토크가 없다고 의미와 같습니다.

다음 그림에서 고정자 b에 전류를 인가하면 영구 자석의 N 혹은 S극이 b상으로 정렬되고 이때 힘(인력) F는 최대이지만 회전자의 회전에는 전혀 기여하지 않게 됩니다. 소위 고정자의 자계가 회전한다면, 회전자에서 고정자 자계를 따라가기 위해 토크가 계속 발생하는 것이 모터의 회전 원리라는 것입니다.

위의 원리는 회전자인 영구 자석 대신에 이를 권선으로 대치한 유도(Induced) 모터에도 같은 원리가 적용되고 요약하면 다음과 같습니다. 여기서 k'에 관련된 상수입니다.

τ = k·(Bs×B) = k'/ω·e·i

• [abc 상(좌표계) 관점에서] 토크는 고정자 권선에 의한 자속 밀도와 회전자 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(90˚)할 때 최대가 됩니다.

• [시간의 관점에서] 토크는 고정자 권선에 전류가 클수록 그리고 역기전력이 클수록 그리고 회전 속도가 작을수록 커지게 됩니다. 

이는 DC 모터의 정상상태 방정식 V = Ri + Ldi/dt + e으로부터 고정자에 일정한 전류 i가 인가된 정상상태에서 전류를 증가시키면 토크가 증가하여 회전 속도가 증가하지만 이로 인해 역기전력이 증가하고 상대적으로 고정자에 권선에 걸리는 전압의 감소는 전류의 감소로 이어저 결국 주어진 전류에 토크(회전 속도)는 균형을 이루게 됩니다.

요약하면, 회전하는 모터의 고정자를 손으로 정지시키면 고정자의 권선에 흐르는 전류가 증가하여 토크가 증가하는데, 이는 회전하려는 힘이 스스로 증가하려는 것으로 전형적인 DC 모터의 특성이며, PMSM을 포함하는 BLDC 모터를 '-DC'로 표현하는 것은 DC 모터의 특성을 닮았기 때문입니다.

3상(abc)의 고정자 권선을 가지는 유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터를 최대의 토크를 유지하며 구동하기 위해서는 abc 좌표계에서 회전자에서 발생하는 자속 밀도가 고정자에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 해야 하며, 이는 타임 도메인(시변 좌표계)에서 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기되는 역기전력과 고정자 권선에 인가되는 전류가 동상(in phase)이 되도록 해야 한다는 의미입니다.

※ 플레밍(Fleming)의 법칙

유도기전력의 방향

전기가 흐르는 도체가 받는 힘

다양한 형태의 모터 구조입니다. PMSM은 BLDCM에 비해 각 상에 대해서 슬롯(slot)을 여러 개로 분산하여 권선을 감은 것을 알 수 있습니다. 따라서 BLDCM 형태를 집중권(concentrated winding)이라고 말하고 PMSM 형태를 분산권(distributed winding)이라 부릅니다.

여러 가지 형태의 모터 내부 구조

게다가 PMSM은 고정자가 1회전하는 동안 최종 자속 밀도는 일정한 착자 방향을 가질 수 있으나 BLDC 모터의 경우에는 고정자 슬롯간의 자기장의 간섭이 적어 동일한 방향의 착자 방향을 가질 수 없고 따라서 쇄교하는 고정자의 자속 밀도를 감소시키는 결과로 토크도 감소한다는 것입니다. 

고정자 권선의 결선 방법으로는 Star 결선(Y 결선)과 delta 결선(△ 결선) 형태가 있는데, 각 상간에 인가되는 유효 전압은 delta 결선이 유리하지만, BLDC 모터에서는 floating 상의 역기전력(BEMF) 관측의 용이성과, PMSM에서 오직 2상의 전류를 측정하여 회전자의 위치을 파악하기 위해 각 상의 전류의 합이 0이 되는 Star 결선이 구동시스템의 자원을 줄일 수 있기 때문에 Star 결선 방법만을 고려합니다.

BLDC 모터의 경우에는 전기각의 매 60도 간격으로 구형파 파형의 전류를 한번에 2개 위상에 가하여 구동하며, 나머지 한 개의 위상은 전력을 가하지 않은 floating 상태로 역기전력(Back EMF; BEMF)를 관측하고 이를 이용하여 6-step commutation을 실시합니다.

따라서 BLDC 모터의 구동은 근본적으로 토크 리플(Torque ripple)이 발생할 수 밖에 없으며 그러므로 시스템에서 토크 리플이나 음향 노이즈가 큰 문제가 되지 않고 감당할 수 있는 수준일 때 사용된다는 것입니다. 하지만 PMSM은 사인파(정현파)형 전류를 3개 위상에 모두 동시적으로 가하여 구동하여, 토크가 매끄럽고 음향 노이즈가 낮다는 것입니다.

이러한 Brushless 모터의 구동을 위해서는 고정자에서 회전 자기장을 만들어 낼 수 있도록 외부에서 제어를 해주어야 하며, 고정자 코일에 토크가 최대가 되도록 전류를 공급하기 위해서는 회전자의 현재 위치에 대한 정보가 반드시 필요하게 됩니다. 이를 위해서 센서나 광학 엔코더(optical encoder)를 사용하는데 이는 가격 상승의 원인이며 이러한 센서들이 다양한 드론(Drone)의 비행 환경에서 감도가 떨어지고 주변 시스템의 잡음 등의 영향으로 센서가 없는 센서리스(Sensorless) 모터를 채택한다는 것입니다.

그러므로 BLDC 모터의 경우에는 회전자의 위치를 파악하기 위해서 floating 상에서 유기된 역기전력(BEMF)이 '0'을 교차하는 순간(Zero-Crossing Point)을 감지하여 회전자와 주어진 고정자 권선 간의 상대적 위치에 대한 정보을 알아내어 위상 정류를 동기화시키는 간단한 방법을 사용합니다. 여기서 역기전력이 '0'인 순간은 자속의 절대값이 최대인 순간을 포착하는 것과 같습니다.

반면에 PMSM의 경우에는 2상의 전류를 감지하여 모터의 복잡한 다변수 비선형 상태 방정식을 이산화(digitized)하여 수치해석적으로 실시간 계산을 통해 회전자 위치를 지속적으로 얻어 반영하는 구조로, 회전자의 토크가 최대가 되도록 고정자 3상의 전류를 공급하게 됩니다. 따라서 PMSM의 센서리스 제어를 위해서는 BLDC와는 달리 고성능의 ADC와 32-bit 이상의 빠른 속도, 때로는 부동 소수점 연산장치(Floating Point Unit; FPU)를 갖는 마이크로컨트롤러(MCU)가 필요하게 된다는 것입니다.

위 그림에서 좌측은 사다리꼴 파형의 역기전력을 갖는 BLDC 모터와 우측은 정현파형의 역기전력을 갖는 PMSM의 각 시간에 따른 토크의 변화를 나타냅니다. 각 상의 토크 T는 역기전력 e와 전류의 i에 곱에 비례하므로 전체 토크 Te = Ta + Tb + Tc 는 이론적으로 일정하게 보입니다. 하지만 실제로는 BLDC 모터의 경우 사다리꼴의 윗변의 폭이 좁아져 토크는 리플이 생기게 됩니다.

Drone의 기체에 추력을 내기 위해서 사용되는 모터는 그동안 BLDC(Brushless Direct Current) 모터가 주류를 이루었지만, 후술되는 장점으로 인하여 최근에는 PMSM(Permanent Magnet Synchronous Motor)으로 교체되는 추세에 있습니다. BLDC 모터와 PMSM 두 모터는 회전자(rotator)가 영구자석(permanent magnet)으로 3상인 기본적인 구조는 유사하며, 주된 차이는 모터가 회전시 각각 역기전력(Back EMF)이 사다리꼴파(Trapzoidal)와 정현파(Sinusoidal)라는 것입니다.

넓은 의미에서 BLDC 모터(BLDCM)는 PMSM을 포함하며 일반적인 DC 모터와의 장점은 이전글인 'BLDC의 장단점'을 참조하시기 바랍니다. 모터의 회전원리는 쉽게 말해 영구자석으로 이루진 회전자는 전류를 공급하는 3상의 권선이 감겨져 있는 고정자(stator)에 전원을 회전자계가 발생하도록 적절히 공급하고, 이때 회전자는 고정자의 회전자계와 동기화(Syncronous)되어 회전하게 된다는 것입니다. 

이와 같이 전원을 공급하는 경우, BLDC는 6-step commutation이라는 전기각의 매 60도 간격으로 전류의 크기와 방향을 바꾸는 스칼라 제어(Scalar 제어)를 사용하는 반변에, PMSM에서는 공간벡터제어(Space Vector Control)라는 기법으로 전체 사이클에 대해서 전류의 크기와 방향을 제어하여, 토크(torque) 직접제어가 가능하고, 속도제어, 위치제어 등에서 탁월한 성능을 발휘한다는 것입니다. FOC(Field-Oriented Control)로 알려진 공간벡터제어(Space Vector Control) 기법으로 구동되는 PMSM을 BLAC(Brushless AC)로 부르기도 합니다.

다음은 BLDC 모터와 PMSM의 차이입니다.

6-step보다 많은 상태를 이용해 위치를 제어할수록 위치 정밀성과 알고리즘 복잡성도 높아집니다

모터(motor)란 전기에너지를 이용하여 회전 토크(torque)를 얻는 장치로, RC에서는 로터(rotor)를 회전시켜 양력을 얻기 위해 반드시 필요합니다. 과거에는 DC 모터를 이용하였지만 최근에는 비용을 최소화하기 위한 초소형 기체를 제외하고는 Brushless DC 모터를 채택하게 된다고 알려집니다.

Brushless DC 모터란 Brush가 없는 DC 모터로 이하 BLDC로 약칭합니다. BLDC가 대중화된 이유는 여러가지가 있을 것입니다. 아래는 일반적인 DC 모터의 내부 모습니다. 케이스 안쪽에 영구자석을 부착하고 철심(core)에 코일(coil)을 감은 회전자(rotator)를 서로 베어링을 이용해 고정하고 Brush를 이용하여 DC 전압을 회전자에 급전하면 플레밍의 왼손 법칙에 의해 회전하게 됩니다.

이때 Brush는 기계적인 기구로 회전자에 의해 접점이 마찰되면서 닳을 수 밖에 구조이며, 회전시 모터의 역기전력(Back Ekectro-motive Force, BEMF)과 합세하여 스파크를 발생시키고 어쿠스틱 소음(acoustic noise)을 만들게 됩니다. 이러한 스파크와 소음은 결국 밧데리의 소모를 부추기게 됩니다.

BLDC 모터를 사용하면 우선 Brush로 인한 스파크와 소음이 없어져 반영구적인 모터의 수명 뿐만아니라 밧데리의 효율을 증가시켜 RC 기체의 체공시간을 길게 만들어 줍니다. 또한 일반 DC 모터의 소음은 콘덴서를 모터의 양 단자에 연결하여 줄일 수는 있지만, MCU 기반에 정교하게 동작하는 비행제어기(Flight controller)나 전자변속기(Electronic Speed Controller, ESC)의 오동작을 초래할 수도 있다는 것입니다.

기존의 RC 기체는 동력원으로 엔진을 사용하였지만 근래에 밧데리 용량과 방전 특성 그리고 안전성이 크게 개선된데다가 BLDC 모터의 채용으로 중소형 기체에서는 엔진에서 모터로 옮겨가는 추세라는 것입니다. 이로 인하여 엔진을 사용시 연료나 그으름으로 누더기 되었던 기체의 관리가 쉬워졌고 소음이 줄어들어 정숙비행이 가능해졌다는 것입니다.

Brush를 사용한 DC 모터와는 달리, BLDC 모터는 철심에 코일이 감긴 고정자(stator)와 안쪽에 자석이 부착된 케이스로 구성되어 케이스가 회전하는 소위 '통돌이 모터'라고도 부릅니다. 하지만 기계적 기구인 Brush가 하던 일을 다른 방식으로 해주어야 하니 전자변속기라는 별도의 제어기가 필요하게 됩니다.

RC용 전자변속기는 대부분 마이크로컨트롤러(MCU)와 H-bridge를 구성하는 트랜지스터들과 그 주변회로 구성되며, 현재 회전자의 위치를 파악하여 다음 위치로 회전시키기 위한 구동 신호를 가하는 방식으로 동작합니다.

일반적으로 산업용으로 사용되는 BLDC 모터는 엔코더(encoder)라는 장치나 홀센서(Hall sensor)가 모터에 부착되어 회전자의 현재 위치를 알려주는데 RC에 사용되는 BLDC 모터는 이러한 장치가 없어 전자변속기를 더욱 복잡하게 만듭니다. 하지만 고성능 MCU의 출현으로 어렵지 않게 구현이 가능해졌는데 이러한 기술 또한 엔진을 전기모터로 대체하는 요인 중에 하나가 될 것입니다.

통상 홀센서를 가지는 BLDC 모터는 전력을 공급받는 3상의 리드선과 별도의 홀센서 리드선이 다수가 필요하여 신뢰성이 중요한 RC 기체에서는 꺼리게 되었지만, 그 보다도 RC 기체가 비행하는 외부조건이 다양한데 홀센서는 이러한 외부조건에 취약하고 [기계적] 엔코더 타입의 모터는 소형화와 경량화가 어렵다는 것입니다.