Drone's DIYer

모터의 고정자(솔레노이드) 권선 내부에 축적되는 자기에너지(magnetic energy)는 다음과 같습니다.

여기서 이고 토크(회전력)는 회전축에서 거리 r만큼 떨어져 작용함을 나타내는 위치벡터와 가한 힘 F로 그리고 시간에 따른 각운동량(angular momentum)의 변화량으로 나타내면 토크는 다음과 같습니다.

여기서 각운동량을 선운동량 p로 연관지으면 이 되고 선운동량(linear momentum)은 p=mv의 관계가 있는데 m은 물체의 질량이고 v는 물체의 속도로 시간에 따른 선운동량의 변화인 dp/dt는 힘 F가 됩니다. 또한 일정한 토크로 물체를 θ만큼 회전시킨 경우 한 일 W는 W=Tθ인 관계가 성립하므로 고정자 권선 내부에 저장된 자기에너지가 모두 운동에너지(kinetic energy)로 전환되었다면 토크 Te는 회전자의 위치각 θ에 대한 편미분항으로서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그러므로 토크는 전류의 제곱에 비례하고 위치각에 대한 인덕턴스의 기울기에 비례함을 알 수 있습니다. 게다가 인덕턴스의 기울기에 따라서 토크의 부호가 달라지게 합니다. 결론적으로 인턱턴스(릴럭턴스) 변화로 토크를 얻는 것을 릴럭턴스 모터라 부릅니다.

영구 자석인 회전자가 고정자 상과 일치하지 않으면 자속의 경로는 길어지게 되고 이는 높은 자기저항(릴릭턴스)를 의미합니다. 반면에 일치하는 경우에는 자속의 경로는 짧아저 낮은 자기저항을 갖게 되는데, 이때 자속의 원천은 권선 내부에 저장된 자기에너지이며 자기에너지를 운동에너지로 쉽게 전환하기 위해서 자극 S, N에 상관없이 자기저항이 낮은 경로를 갖도록 회전자를 움직이게 하는 경향이 있다는 것입니다. (자기저항은 공극이 작아지면, 동일한 전류로 더 큰 쇄교자속을 얻을 수 있다는 것입니다)

PMSM의 모델식으로 토크는 다음과 같습니다.

돌극비(Lq/Ld)가 1보다 큰 IPM 모터를 만일 q축 성분의 전류만을 가지고 토크를 제어(id=0)하지 않으면 d축 성분의 전류로 인하여 q축과의 위상차인 β가 존재하며 이 때의 전류벡터를 ia라 놓을 수 있습니다. 다음 그림은 d-q 좌표계에서 전압방정식을 나타낸 것입니다.

여기서 r은 권선의 저항이며 회전에 의한 φq, φd의 미소변화를 고려하면 다음 그림에서와 같이 방향에 대해서는 Δθ→0의 극한을 고려하면 Δφd는 q축 방향으로, Δφq는 음의 d축 방향으로 향하고 있어 Δφd=Δθxφd, Δφq=Δθxφq의 벡터 방향을 결정하여 다음과 같습니다.

이를 고정자 권선 가운데를 자속이 회전하므로서 발생하는 기전력이며 속도기전력이라고 부릅니다. 

이 속도기전력은 자속 φ에 대하여 90˚ 진각(advance) 위상벡터(j를 곱하여 위상 90˚만큼 빠르게 함)를 ω배 한 것으로 ωφm, ωLdid, ωLqiq이며 이들 총화가 Vo이며, Vo에 전기자 권선 저항의 전압강하 ria을 더한 것이 단자전압 Va가 됩니다. , 인 관계가 있으므로 다시 위의 PMSM의 토크식에 이를 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

오른쪽 제1항은 마그네트 토크(magnetic torque)를 나타내고, 제2항은 d축 자속경로와 q축 자속경로의 자기저항 차이에 의해서 발생하는 소위 돌극성에 의해 발생하는 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 나타냅니다. 다음 그림은 이들 토크와 전발생 토크(전체 토크)를 보여줍니다.

위 그림에서 전류가 일정한 상태에서 전류 위상 β를 변화시킬 때의 마그네틱 토크는 β=０°에서 최대가 되고, β＝１８０°에서 음의 최대가 되며, 릴럭턴스 토크는 β＝45°, －135°에서 최대인 2배의 주파수를 가지는데, 그 결과로 전발생 토크는 전류 위상 ０°＜β＜45° 범위에서 약 20% 정도 증가한 최대가 되며 135°＜β＜１８０°에서 음의 최대 토크가 된다는 것입니다. 이와 같이 β를 변화시키는 방식을 전류위상제어라고 부르며 전류벡터를 부하 조건에 맞게 적절히 선택함으로서 넓은 부하범위에서 고성능 운전을 가능하게 한다는 것입니다.

다음 그림은 DC 모터의 토크 발생 원리를 설명하기 위한 개념도입니다.

위 그림과 같이 DC 모터에 전압 v를 인가하여 권선에 전류 i가 흐를 경우, 발생할 토크(회전력)는 위와 같이 플레밍(Fleming)의 왼손 법칙에 의하여 다음과 같습니다. 여기서 2는 회전축을 중심으로 같은 힘 F가 토크에 기여하기 때문이며 F는 로렌쯔(Lorentz)의 힘입니다.

τ = 2rF = 2ri(l x B)

그러므로 선분 ad와 bc는 위치에 따라서 힘이 작용할 수는 있지만 토크에는 기여하지 못하고, 선분 ab와 cd에서만 회전에 기여하는 토크가 발생합니다. 한편 페러데이(Faraday) 법칙에 의해서 기전력(electromagnet force) e는 다음과 같습니다. 여기서 속도 v = dx/dt = rdθ/dt = rω이고 ω는 각속도입니다. 

e = -dψ/dt = -BdA/dt = -Bldx/dt = -Blv = -Blrω

권선 길이 l 성분은 자속 밀도 B와 수직하므로 유도 기전력을 사용하여 토크의 크기를 다시 나타내면 다음과 같습니다. 결국 회전자를 영구 자석으로 고려하면 고정자 권선에 걸리는 역기전력은 오직 각속도에 비례함을 알 수 있습니다.

τ = 2rF = 2rilB = 2/ωei

따라서 토크는 고정자 권선에 흐르는 전류에 비례하고, 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기된 역기전력에 비례함을 나타냅니다.

교류 모터의 원리

영구 자석이 회전하는 BLDC 모터나 PMSM를 고려하면 자속 밀도 B가 변화하므로 토크는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

τ = 2rilBsinθ

고정자 권선에 i라는 전류가 흐르면, 권선이 이루는 면에 수직으로 발생하는 자속 밀도 Bs의 크기는 암페어(Ampere) 법칙에 의해서 전류 i에 비례하므로 Bs = Gi라 하면 다음과 같이 됩니다. 단, G는 루프의 형태와 관련된 상수입니다.

τ = 2rilBsinθ = 2rl/G·Bs·Bsinθ

여기서 k = 2rl/G라 하여 기기의 구조에 의존하는 값으로 정의하면 일반적인 토크는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

τ = k·Bs·Bsinθ = k·(Bs×B)

그러므로 토크는 권선에 의한 자속 밀도와 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(orthogonal, perpendicular)할 때 최대가 되고 같을 때 0이 됩니다. 이는 두 자계의 방향이 서로 일치하려는 작용에 의해 토크가 발생하고 회전자의 자계가 고정자의 자계와 일치하는 방향으로 토크가 발생한다는 것입니다. 위 그림에서 θ가 0도인 경우는 회전 토크에 기여하지 못하는 것으로 다른 말로 쇄교하는 자속 밀도가 시간에 따라 변화가 없어 역기전력은 0이 되어 토크가 없다고 의미와 같습니다.

다음 그림에서 고정자 b에 전류를 인가하면 영구 자석의 N 혹은 S극이 b상으로 정렬되고 이때 힘(인력) F는 최대이지만 회전자의 회전에는 전혀 기여하지 않게 됩니다. 소위 고정자의 자계가 회전한다면, 회전자에서 고정자 자계를 따라가기 위해 토크가 계속 발생하는 것이 모터의 회전 원리라는 것입니다.

위의 원리는 회전자인 영구 자석 대신에 이를 권선으로 대치한 유도(Induced) 모터에도 같은 원리가 적용되고 요약하면 다음과 같습니다. 여기서 k'에 관련된 상수입니다.

τ = k·(Bs×B) = k'/ω·e·i

• [abc 상(좌표계) 관점에서] 토크는 고정자 권선에 의한 자속 밀도와 회전자 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(90˚)할 때 최대가 됩니다.

• [시간의 관점에서] 토크는 고정자 권선에 전류가 클수록 그리고 역기전력이 클수록 그리고 회전 속도가 작을수록 커지게 됩니다. 

이는 DC 모터의 정상상태 방정식 V = Ri + Ldi/dt + e으로부터 고정자에 일정한 전류 i가 인가된 정상상태에서 전류를 증가시키면 토크가 증가하여 회전 속도가 증가하지만 이로 인해 역기전력이 증가하고 상대적으로 고정자에 권선에 걸리는 전압의 감소는 전류의 감소로 이어저 결국 주어진 전류에 토크(회전 속도)는 균형을 이루게 됩니다.

요약하면, 회전하는 모터의 고정자를 손으로 정지시키면 고정자의 권선에 흐르는 전류가 증가하여 토크가 증가하는데, 이는 회전하려는 힘이 스스로 증가하려는 것으로 전형적인 DC 모터의 특성이며, PMSM을 포함하는 BLDC 모터를 '-DC'로 표현하는 것은 DC 모터의 특성을 닮았기 때문입니다.

3상(abc)의 고정자 권선을 가지는 유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터를 최대의 토크를 유지하며 구동하기 위해서는 abc 좌표계에서 회전자에서 발생하는 자속 밀도가 고정자에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 해야 하며, 이는 타임 도메인(시변 좌표계)에서 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기되는 역기전력과 고정자 권선에 인가되는 전류가 동상(in phase)이 되도록 해야 한다는 의미입니다.

※ 플레밍(Fleming)의 법칙

유도기전력의 방향

전기가 흐르는 도체가 받는 힘