Drone's DIYer

모터를 벡터 제어 기법으로 구동하기 위해서는 3상의 모터 시스템을 벡터로 접근해야 하며 가장 쉽게 이해할 수 있는 abc 좌표계에서 구동에 필수적인 d-q 좌표계로의 변환과 그에 따른 모델링이 요구됩니다. 3상 모터의 전압이나 전류 그리고 자속을 벡터로 접근하는 근본적인 이유는 기구적으로 고정자 권선이 120˚ 간격으로 배치되었기 때문으로 전류를 예를 들어 전체 공간 벡터식으로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

여기서 a는 다음 그림에서와 같이 각 상의 120˚ 등간격의 기구적인 배치를 의미하는 것이며, 각 상의 전류 ia, ib, ic는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 여기서 a축 방향은 a상 권선에 의해 발생하는 자속의 방향을 의미합니다.

위의 abc 좌표계에서 3상의 전류는 서로 120˚이 위상차를 가짐을 나타내며 위의 전류의 전체 공간 벡터식에 대입하고 이를 간략화하면 다음 식과 같습니다. 

즉, 전류 공간 벡터는 abc 좌표계의 원점을 중심으로 겹쳐진 복소평면의 음의 허수부축에서부터 반시계 방향으로 회전하게 됩니다. 이는 3상 모터의 고정자 권선이 120˚ 간격의 배치된 상태에서 각 상에 120˚의 위상차를 갖는 정현파 전류의 인가로 발생하게 된다는 것입니다.

abc 좌표계에서 모터의 동특성 방정식은 다음과 같습니다. 여기서 총 쇄교 자속 입니다.

또한 abc 좌표계에서 쇄교 자속 방정식은 다음과 같습니다.

여기서 상호 인덕턴스는 대칭적(Lab = Lba)이고 인덕턴스는 angle(θ)에 따라 변하게 됩니다. 다음 식에서 보는 바와 같이 자기 인덕턴스는 회전자인 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치할 때 최대이고, 상호 인덕턴스는 쇄교와 동상의 중간에서 최대가 됩니다. 즉, 회전자가 q축에 있을 때 자기 인덕턴스가 최대이고 d축과 q축 사이에서 상호 인덕턴스가 최대가 된다는 것입니다.

Ls는 공극(air gap) 자기저항(reluctance)의 일정 성분으로 로 나타내는데, Lso는 토크를 생성하는 인덕턴스이고 Lsl는 고정자의 누설 인덕턴스입니다. 또한 Lx는 공극 자기저항의 정현적으로 변화하는 성분의 크기이며 IPM(Interior Permanent Magnet) 모터의 돌극성으로 인하여 2θ의 항으로 나타납니다. 상호 인덕턴스 Lab, Lbc, Lac에서 -1/2 계수는 각 상이 120˚ 간격으로 위치되어지고 따라서 cos(2π/3)=-1/2이며 반면에 고정자에서 쇄교 자속은 다음과 같습니다.

여기서 λ는 회전자인 영구 자석에 의한 고정자 권선의 쇄교 자속이고, θ는 여전히 a축과 d축의 전기각이며 입력 전력은 다음과 같습니다.

출력 전력과 출력 토크는 abc 좌표계에서 유도하기 어렵기 때문에 생략합니다. 위와 같은 모터의 동특성 방정식과 쇄교 자속 방정식 등은 d-q 좌표계로 변환할 필요가 있습니다. abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다.

또한 d-q 좌표계에서 다시 abc 좌표계로 변환하는 행렬식은 다음과 같습니다. 

여기서는 전류를 변환하였지만 이외에도 전압, 쇄교 자속에 대해서도 동일하게 적용할 수 있습니다. 영축 I0는 영상분축이라고도 부르며 balanced 3상 시스템에서는 항상 '0'이 됩니다. 이는 전류, 전압 그리고 쇄교 자속 모두가 순시적인 합이 '0'이 되는 정현파 시스템이기 때문에 가능하다는 것입니다.

abc 좌표계에서 고정자 3상의 전압을 d-q 좌표계로 변환하면 vd와 vq는 va, vb 그리고 vc로 나타낼 수 있고 이를 동특성 방정식을 이용하여 ia, ib, ic 그리고 λa, λb, λc 변수들에 의한 식으로 전개합니다. 그리고 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로의 위 행렬 변환식으로부터 3상의 전류 i와 쇄교 자속 λ를 d-q 좌표계에서의 전류 id, iq 그리고 쇄교 자속 λd, λq에 의한 식으로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

여기서 d-q 좌표계의 쇄교 자속 λd과 λq는 다음과 같습니다. 회전자의 자속은 d축과 일치(d축과 a축의 전기각이 0)하도록 변환하였으므로 q축 상의 자속에 영구 자석으로부터의 기여는 없게 됩니다.

여기서 Lq와 Ld는 각각 q축과 d축에 동기화된 자기 인덕턴스라 부르고 다음과 같이 정의됩니다.

동기 인덕턴스는 3상 balanced 조건에서 유효 인덕턴스가 되고 각 동기 인덕턴스는 누설 인덕턴스를 포함한 자기 인덕턴스와 다른 2상으로부터의 기여로 이루어집니다. Ls는 평균 인덕턴스로 Ls = (Lq + Ld)/2 이고 Lx는 인덕턴스 변화분(fluctuation)으로 Lx = (Lq – Ld)/2입니다. 그러므로 d-q 좌표계에서의 동특성 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

순시 전력은 abc 좌표계에서 입력 전력으로 각 상에 대한 전압 va,vb, vc 그리고 ia, ib, ic를 d-q 좌표계의 전압 vd, vq와 전류 id, iq로 변환하여 대입하면 다음과 같습니다.

모터의 전기적인 토크는 자속과 전류에 비례하므로 다음과 같습니다.

여기서 K는 관련상수이며, 이를 d-q 좌표계의 쇄교 자속과 전류로 나타내면 다음과 같습니다.

여기서 P는 모터의 극(pole)수입니다. 자속의 시정수가 전류의 시정수보다 훨씬 커서 순시적으로 자속이 일정하다고 가정하면, 이 때 λq=0가 되어 토크는 (K는 관련 상수)이 됩니다. 위에서 d-q 좌표계의 자속 λd, λq 식을 대입하면 다음과 간략화 됩니다.

만일 d축의 전류 id를 0으로 제어한다면 다음과 같이 간략화됩니다. SPM(Surface Permanent Magnet)의 경우에 항상 공극의 인덕턴스는 일정하므로 Lq=Ld=Ls가 되지만, IPM의 경우는 Lq>Ld가 되어 영구 자석의 자속의 방향과 고정자 권선의 자속이 일치시키더라도 전류 id를 반드시 0으로 제어하여야 합니다. 하지만 적당한 id와 iq를 흘려 추가적인 릴럭턴스 토크(reluctance torque)를 얻을 수도 있습니다.

여기서 이고, 기계적인 토크식은 다음과 같습니다.

여기서 , 이고, J는 회전자의 관성 모멘트, B는 점성 마찰 계수, TL은 부하 토크입니다. 전기적인 토크 Te와 기계적인 토크 Tm은 일치해야 하므로 위 방정식으로 부터 다음과 같습니다.

위 식으로부터 PMSM의 d-q 좌표계에서의 상태(동특성) 방정식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

3상 공간 좌표계는 abc 좌표계 혹은 정지(ω=0) 좌표계(Stationary Reference Frame)라고도 합니다. 3상 좌표계의 a상이 발생시키는 자속의 방향과 일치하는 α축과 이에 직교하는 β축을 갖는 2차원 좌표계로의 변환을 Clarke 변환이라고 하며 이를 α-β 좌표계, d-q 정지 좌표계 혹은 회전자 좌표계(Rotor Reference Frame)라고 명명합니다.

위 행렬식에서 3번째 행은 가 되는데 3상 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등이 서로간에 120˚의 위상차를 갖는다면 balanced 조건을 만족하여 0이 되어 무시되어 집니다. 이를 0축분 혹은 영상축분이라 부르고 영상축분이 0이 되면 abc 좌표계는 2차원 직교 좌표계로 단순화되어 시스템을 쉽게 다룰 수 있다는 것입니다. 여기서 k1과 k2는 balanced 계수입니다. 일반적으로 변환 전후에 공간 벡터를 크기를 동일하게 하도록 balanced 계수 k1=2/3로 선택하고 생략되지 않는다면 k2=1/2가 됩니다.

또한 회전자(ω=ωr) 좌표계(Rotor Reference Frame)를 회전자의 위치 즉, 기준 자속의 angle(θ)를 알아내고 여기에 자속 성분을 일치시키기 위해서는 angle(θ) 만큼 원점을 중심으로 회전시켜야 합니다. 이와 같은 변환을 Park 변환이라고 하며 d-q 동기 좌표계, de-qe 좌표계 혹은 동기(ω=ωe) 좌표계(Synchronous Reference Frame)라고 명명합니다.

abc 좌표계에서 d-q 좌표계로 바로 변환하려면 위 그림으로부터 다음과 같습니다.

반대로 d-q 좌표계에서 abc 좌표계로 역변환하려면 행렬식 연산을 이용하여 위 식으로부터 다음과 같습니다. 비정방행렬이라 역행렬(inverse matrix)이 존재하지 않는 것처럼 보이지만 실제로는 d-q좌표계에 영상분(중성)축 0축을 고려한 3x3 정방행렬로 계산하고 balanced 조건하에서 영상분을 다시 제거한 것입니다.

위와 같은 좌표계 변환은 abc 좌표계에서 balanced 조건하에서 전류 뿐만아니라 전압, 자속 등의 변환에 사용할 수 있습니다. 만일 기준 자속의 angle(θ)을 찾아내 실시간으로 회전자 좌표계의 d축과 일치시킨다면 회전자는 고정자의 회전자계와 같은 속도(synchronous)로 아래 그림과 같이 회전하게 됩니다.

이 때 고정자의 인가되는 전압과 전류 벡터는 회전자의 회전축에서 볼 때 항상 일정한 값으로 보인다는 것입니다. 그러므로 아래 그림에서처럼 d-q 좌표계는 abc와 α-β 좌표계와는 달리 시간에 따라 일정값을 보이게 됩니다. 즉, 이는 3상의 시변 시스템이 2축의 시불변으로 시스템으로 간주되어 이와 같이 변환이 제어를 용이하게 한다는 것입니다.

다음 그림은 DC 모터의 토크 발생 원리를 설명하기 위한 개념도입니다.

위 그림과 같이 DC 모터에 전압 v를 인가하여 권선에 전류 i가 흐를 경우, 발생할 토크(회전력)는 위와 같이 플레밍(Fleming)의 왼손 법칙에 의하여 다음과 같습니다. 여기서 2는 회전축을 중심으로 같은 힘 F가 토크에 기여하기 때문이며 F는 로렌쯔(Lorentz)의 힘입니다.

τ = 2rF = 2ri(l x B)

그러므로 선분 ad와 bc는 위치에 따라서 힘이 작용할 수는 있지만 토크에는 기여하지 못하고, 선분 ab와 cd에서만 회전에 기여하는 토크가 발생합니다. 한편 페러데이(Faraday) 법칙에 의해서 기전력(electromagnet force) e는 다음과 같습니다. 여기서 속도 v = dx/dt = rdθ/dt = rω이고 ω는 각속도입니다. 

e = -dψ/dt = -BdA/dt = -Bldx/dt = -Blv = -Blrω

권선 길이 l 성분은 자속 밀도 B와 수직하므로 유도 기전력을 사용하여 토크의 크기를 다시 나타내면 다음과 같습니다. 결국 회전자를 영구 자석으로 고려하면 고정자 권선에 걸리는 역기전력은 오직 각속도에 비례함을 알 수 있습니다.

τ = 2rF = 2rilB = 2/ωei

따라서 토크는 고정자 권선에 흐르는 전류에 비례하고, 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기된 역기전력에 비례함을 나타냅니다.

교류 모터의 원리

영구 자석이 회전하는 BLDC 모터나 PMSM를 고려하면 자속 밀도 B가 변화하므로 토크는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

τ = 2rilBsinθ

고정자 권선에 i라는 전류가 흐르면, 권선이 이루는 면에 수직으로 발생하는 자속 밀도 Bs의 크기는 암페어(Ampere) 법칙에 의해서 전류 i에 비례하므로 Bs = Gi라 하면 다음과 같이 됩니다. 단, G는 루프의 형태와 관련된 상수입니다.

τ = 2rilBsinθ = 2rl/G·Bs·Bsinθ

여기서 k = 2rl/G라 하여 기기의 구조에 의존하는 값으로 정의하면 일반적인 토크는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

τ = k·Bs·Bsinθ = k·(Bs×B)

그러므로 토크는 권선에 의한 자속 밀도와 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(orthogonal, perpendicular)할 때 최대가 되고 같을 때 0이 됩니다. 이는 두 자계의 방향이 서로 일치하려는 작용에 의해 토크가 발생하고 회전자의 자계가 고정자의 자계와 일치하는 방향으로 토크가 발생한다는 것입니다. 위 그림에서 θ가 0도인 경우는 회전 토크에 기여하지 못하는 것으로 다른 말로 쇄교하는 자속 밀도가 시간에 따라 변화가 없어 역기전력은 0이 되어 토크가 없다고 의미와 같습니다.

다음 그림에서 고정자 b에 전류를 인가하면 영구 자석의 N 혹은 S극이 b상으로 정렬되고 이때 힘(인력) F는 최대이지만 회전자의 회전에는 전혀 기여하지 않게 됩니다. 소위 고정자의 자계가 회전한다면, 회전자에서 고정자 자계를 따라가기 위해 토크가 계속 발생하는 것이 모터의 회전 원리라는 것입니다.

위의 원리는 회전자인 영구 자석 대신에 이를 권선으로 대치한 유도(Induced) 모터에도 같은 원리가 적용되고 요약하면 다음과 같습니다. 여기서 k'에 관련된 상수입니다.

τ = k·(Bs×B) = k'/ω·e·i

• [abc 상(좌표계) 관점에서] 토크는 고정자 권선에 의한 자속 밀도와 회전자 영구 자석에 의한 자속 밀도의 방향이 쇄교(90˚)할 때 최대가 됩니다.

• [시간의 관점에서] 토크는 고정자 권선에 전류가 클수록 그리고 역기전력이 클수록 그리고 회전 속도가 작을수록 커지게 됩니다. 

이는 DC 모터의 정상상태 방정식 V = Ri + Ldi/dt + e으로부터 고정자에 일정한 전류 i가 인가된 정상상태에서 전류를 증가시키면 토크가 증가하여 회전 속도가 증가하지만 이로 인해 역기전력이 증가하고 상대적으로 고정자에 권선에 걸리는 전압의 감소는 전류의 감소로 이어저 결국 주어진 전류에 토크(회전 속도)는 균형을 이루게 됩니다.

요약하면, 회전하는 모터의 고정자를 손으로 정지시키면 고정자의 권선에 흐르는 전류가 증가하여 토크가 증가하는데, 이는 회전하려는 힘이 스스로 증가하려는 것으로 전형적인 DC 모터의 특성이며, PMSM을 포함하는 BLDC 모터를 '-DC'로 표현하는 것은 DC 모터의 특성을 닮았기 때문입니다.

3상(abc)의 고정자 권선을 가지는 유도 전동기나 PMSM을 포함한 BLDC 모터를 최대의 토크를 유지하며 구동하기 위해서는 abc 좌표계에서 회전자에서 발생하는 자속 밀도가 고정자에서 발생하는 자속 밀도와 항상 쇄교(90˚)하도록 해야 하며, 이는 타임 도메인(시변 좌표계)에서 회전자의 회전으로 인해 고정자 권선에 유기되는 역기전력과 고정자 권선에 인가되는 전류가 동상(in phase)이 되도록 해야 한다는 의미입니다.

※ 플레밍(Fleming)의 법칙

유도기전력의 방향

전기가 흐르는 도체가 받는 힘